Leis do movimento: Lei das posições e das velocidades

Explicação

O movimento de um corpo pode caracterizar-se de acordo com a relação que existe entre os vetores velocidade e aceleração ao longo do movimento.

Tipos de movimento

Movimento	Velocidade e aceleração	Exemplo
Retilíneo uniforme	$v=k$ e $a=0$	Um corpo que se desloca com velocidade constante de $5 \ m/s$ .
Retilíneo uniformemente acelerado	Sinais iguais	Um corpo que se desloca com velocidade de $5 \ m/s$ sujeito a uma aceleração de $2 \ m/s^2$ .
Retilíneo uniformemente retardado	Sinais opostos	Um corpo que se desloca com velocidade de $5 \ m/s$ sujeito a uma aceleração de $-2 \ m/s^2$ .

Nota: Se a velocidade e aceleração de um corpo forem ambas negativas, o movimento é retilíneo uniformemente acelerado, porque o sinal das duas grandezas é o mesmo.

1ª Lei de Newton

Como sabes pela 2ª Lei de Newton, um corpo com aceleração nula terá uma força resultante também nula.

Assim, a partir da tabela acima, percebes que um corpo com força resultante nula irá permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, princípio enunciado pela 1ª Lei de Newton.

Lei das posições

A Lei das posições dá a posição de um corpo em função do tempo, ao longo de um qualquer movimento. É calculada por:

$x(t)=x_0\pm v_0t\pm\frac{1}{2}at^2$

O sinal positivo ou negativo deriva do sinal do parâmetro que lhe está associado. Repara:

$x(t)=x_0\color{#ef5c6c}{\pm v_0t}\color{black}\pm\frac{1}{2}at^2$

Neste termo, o sinal será obtido de acordo com o valor da velocidade inicial do corpo:

Se $v_0 >0 \rightarrow x(t)=x_0\color{#ef5c6c}{+ v_0t}\color{black}\pm\frac{1}{2}at^2$
Se $v_0<0 \rightarrow x(t)=x_0\color{#ef5c6c}{- v_0t}\color{black}\pm\frac{1}{2}at^2$

O mesmo acontece com o termo seguinte:

$x(t)=x_0\pm v_0t\color{#ef5c6c}\pm\frac{1}{2}at^2$

Se $a>0\rightarrow x(t)=x_0\pm v_0t\color{#ef5c6c}+\frac{1}{2}at^2$
Se $a<0\rightarrow x(t)=x_0\pm v_0t\color{#ef5c6c}-\frac{1}{2}at^2$

Nota: No movimento retilíneo uniforme, como $a=0$ , o último termo da equação é nulo.

Lei das velocidades

A Lei das velocidades permite-te calcular a velocidade do corpo em função do tempo. Dá-se por:

$v=\pm v_0\pm at$

Analogamente à Lei das posições, também nesta equação o sinal de cada parâmetro estará relacionado com a velocidade inicial do corpo e com a sua aceleração, respetivamente.

No geral, ter-se-ão as seguintes equações para cada tipo de movimento:

Tipo de movimento	Velocidade	Aceleração	Lei das posições	Lei das velocidades
Retilíneo uniforme	$+$	$0$	$x=x_0+v_ot$	$v=v_0$
Retilíneo uniforme	$-$	$0$	$x=x_0-v_0t$	$v=-v_0$
Retilíneo u. acelerado	$+$	$+$	${x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2}$	$v=v_0+at$
Retilíneo u. acelerado	$-$	$-$	$x=x_0-v_0t-\frac{1}{2}at^2$	$v=-v_0-at$
Retilíneo u. retardado	$+$	$-$	$x=x_0+v_0t-\frac{1}{2}at^2$	$v=v_0-at$
Retilíneo u. retardado	$-$	$+$	$x=x_0-v_0t+\frac{1}{2}at^2$	$v=-v_0+at$

Exemplo

Um carro desloca-se com $a=5 \ m/s^2$ nos primeiros $10 \ s$ de movimento e com ${a=-2m/s^2}$ no minuto final de movimento $(B)$ , tendo partido do repouso e da origem do referencial.

Apresenta a Lei das posições do carro para cada tipo de movimento.

Nos primeiros $10 \ s$ de movimento:

$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\Leftrightarrow \\ \, \\\Leftrightarrow x=0+0+\frac{1}{2}\times5\times t^2\Leftrightarrow \\ \, \\\Leftrightarrow x=2{,}5t^2$

De forma a poderes construir a lei das posições para o segundo intervalo de tempo, a que se chamou de $B$ , tens de saber a velocidade no início do mesmo e a posição inicial do carro:

$x=2{,}5\times10^2=250 \ m=x_0(B)$

$v=v_0+at\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow v=0+5\times10=50 \ m/s$

Logo,

$x(B)= x_0+v_0t-\frac{1}{2}at^2\Leftrightarrow \\ \, \\\Leftrightarrow x(B)=250+50t-\frac{1}{2}\times{2}\times t^2\Leftrightarrow \\ \, \\\Leftrightarrow x(B)=250+50t-t^2$ 