Modelos contínuos: Conceitos

Explicação

Um modelo probabilístico é contínuo quando a sua variável aleatória é contínua. Assim, será representado por uma função cujo gráfico é contínuo. A essa função chama-se função densidade de probabilidade.

Nos modelos contínuos, determinam-se áreas para calcular probabilidade:


A área total entre o gráfico da função densidade da probabilidade e o eixo dos $xx$ será sempre igual a $1$ .	$P(a\leq X\leq b)$ é igual à área compreendida entre o gráfico e o eixo dos $xx$ , no intervalo $[a,b]$

Nota: O gráfico desta função situar-se-á sempre acima do eixo do $x$ , já que não existem probabilidade negativas.

Existem vários modelos de suporte para modelos contínuos, entre eles, o modelo uniforme, o modelo exponencial e o modelo normal.

Modelo uniforme

A distribuição uniforme é a distribuição de probabilidade mais simples. A probabilidade de ocorrência num intervalo é proporcional ao tamanho desse intervalo. Consequentemente, a probabilidade de intervalos com a mesma amplitude será sempre igual.

A função densidade de probabilidade dada pelo modelo uniforme é:

$f(X)=\dfrac{1}{b-a}$ se $X\in[a,b]$
$f(X)=0$ se $X\not\in[a,b]$

Neste modelo, a probabilidade de a variável aleatória estar compreendida entre $c$ e $d$ é dada pelo valor da área do retângulo entre a função e o eixo dos $xx$ .

Matemática Aplicada às Ciências Sociais; Modelos de probabilidade; 11º Ano; Modelos contínuos: Conceitos

Exemplo

Assume que $X$ é a variável aleatória que representa o tempo de um utente na sala de espera de um hospital. Sabes que $X$ está distribuída de forma uniforme entre $10$ e $30$ minutos.

Como calculas a probabilidade de um utente estar na sala de espera entre $15$ e $20$ minutos?

Sabemos que $X\in[10,30]$ , então a função será igual a $f(X)=\dfrac{1}{b-a}$ , ficando:

$P(15\leq X\leq20)=\dfrac{20-15}{30-10}=\dfrac{5}{20}=0{,}25$

Nota que a função densidade de probabilidade é dada por $f(X)=\dfrac{1}{30-10}=\dfrac{1}{20}$ .

Matemática Aplicada às Ciências Sociais; Modelos de probabilidade; 11º Ano; Modelos contínuos: Conceitos

Como podes ver visualmente, a área da probabilidade pedida é $25\%$ da área total do gráfico.

Modelo exponencial

A probabilidade de ocorrência de um acontecimento neste modelo é sempre independente de qualquer ocorrência anterior.

Normalmente, o modelo aplica-se para calcular a probabilidade de ocorrência de um acontecimento após um certo intervalo de tempo.

A função densidade de probabilidade dada pelo modelo exponencial é:

$f(X)=\lambda\times e^{\lambda X}$ se $X\in[0,+\infin[$
$f(X)=0$ se $X\in]-\infin,0]$

onde $\lambda>0$ .

A probabilidade de a variável aleatória $X$ estar compreendida entre $a$ e $b$ é dada também pelo valor da área compreendida entre a função densidade de probabilidade e o eixo dos $xx$ :

$P(a\leq X\leq b)=e^{(-\lambda a)}-e^{-\lambda b}$

Para além disso, o valor médio desta função é igual a $\dfrac{1}{\lambda}$ e a variância é igual a $\dfrac{1}{\lambda^2}$ .

Neste modelo, diz-se que $X$ segue "uma distribuição exponencial de parâmetro $\lambda$ " e pode-se escrever $X\sim \text{Exp}(\lambda)$ .

Exemplo

Uma bateria tem uma duração média de $500$ horas. Qual a probabilidade de durar até às $700$ horas?

Como o valor médio é $500$ , $\lambda=\dfrac{1}{500}=0{,}002$ .

Assim, a variável aleatória que representa a duração da bateria é $X\sim\text{Exp}(0{,}002)$ . A probabilidade pedida é então:

$\begin{aligned}P(X>700)&=1-p(X\leq700)\\&=1-P(0\leq X\leq700)\\&=1-(e^{-0{,}002\times0}-e^{-0{,}002\times700})\\&\approx0{,}247=24{,}7\ \%\end{aligned}$

Modelo normal

O modelo normal é baseado na distribuição normal.

Esta distribuição surge muito frequentemente quando se recolhe dados sobre características de seres vivos, ou fenómenos naturais. Por exemplo, se se representar as alturas dos cidadãos portugueses que têm idades entre $20$ e $50$ anos num histograma, é expectável que as barras sugiram uma curva semelhante à da função de densidade de probabilidade da distribuição normal.

Esta curva tem, normalmente, forma de sino, e chama-se curva normal ou curva de Gauss.

A função densidade de probabilidade do modelo normal é dada por:

$f(X)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\times e^{-\frac{(X-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

sendo $\mu$ o valor médio (um número real) e $\sigma$ o desvio-padrão populacional (um número real positivo).

Quando uma variável aleatória $X$ segue uma distribuição normal de parâmetros $\mu$ e $\sigma$ escreve-se $X\sim N(\mu,\sigma)$ .

Tal como com os modelos uniforme e exponencial, a probabilidade é definida pela área e nalguns casos, a área já se encontra definida:

No intervalo $]\mu-\sigma,\mu+\sigma[$ , a área abaixo da curva é aproximadamente $0{,6827}$ .
No intervalo $]\mu-2\sigma,\mu+2\sigma[$ , a área abaixo da curva é aproximadamente $0{,}9545$ .
No intervalo $]\mu-3\sigma,\mu+3\sigma[$ , a área abaixo da curva é aproximadamente $0{,}9973$ .

Exemplo

Sabe-se que, numa população de bebés de $1$ ano, o valor médio de peso (em kilogramas) é $\mu=10\ kg$ e o desvio-padrão $\sigma=0{,}5\ kg$ .

Assim, sabemos que:

Aproximadamente $68{,}27\%$ dos bebés pesa entre $9{,}5\ kg$ e $10{,}5\ kg$ .
Aproximadamente $95{,}45\%$ dos bebés pesa entre $9 \ kg$  e $11\ kg$ .
Aproximadamente $99{,}73\%$ dos bebés pesa entre $8{,}5\ kg$ e $11{,}5\ kg$ .