Modelo logístico e regressões logísticas

Explicação

O modelo logístico é utilizado para modelar o crescimento populacional em habitat fixos, onde a taxa de crescimento é diretamente proporcional ao espaço disponível existente no habitat dessa população.

Ou seja, à medida que a população aumenta, o espaço disponível no habitat da população diminui e a taxa de crescimento da população também diminui.

Este é um fenómeno que acontece com as populações animais, uma vez que o habitat destas populações é limitado, podendo assumir a forma de uma jaula, um deserto, uma floresta ou mesmo o planeta Terra.

Quando a população animal cresce, a competição pelos recursos também aumenta. Isso fará com que a taxa de crescimento da população comece a diminuir, a partir de um determinado momento.

O modelo contínuo de crescimento logístico pode ser traduzido na seguinte equação, em função do tempo ( $t$ ):

$P(t)=\dfrac{c}{1+a\times e^{-bt}}$ ,

sendo $a$ , $b$ e $c$ constantes reais positivas.

Como ${c}$ é o limite máximo da população suportado pelo habitat, diz-se que o crescimento logístico é limitado.

Para além disso, através do gráfico dado pelo modelo, é possível identificar quatro fases de crescimento da população:

Crescimento lento inicial;
Crescimento exponencial (drástico);
Abrandamento do crescimento;
Estabilização (crescimento muito lento).

Exemplo

Considera que a população de aves existentes numa capoeira segue o modelo de crescimento logístico, representada pela seguinte equação:

$y=\dfrac{58{,}319}{1+31{,}46\times e^{-0{,}231t}}$ 

O ano de $2001$ é o ano zero.

Determina:

o número máximo de aves que a capoeira suporta;
o número esperado de aves em $2015$ ;
o ano em que a capoeira atinge as $49$ aves.

1. Como $c=58{,}319$ , o número máximo de aves suportadas pela capoeira é $58$ .

2. O número esperado de aves em $2015$ é o resultado de $y$ , com ${t=2015-2001=14}$ :

$y=\dfrac{58{,}319}{1+31{,}46\times e^{-0{,}231\times14}}\approx26{,}04$ 

Ou seja, espera-se que existam $26$ aves na capoeira em $2015$ .

3. Para se descobrir o ano em que a capoeira atinge as $49$ aves, basta igualar a equação a $49$ :

$49=\dfrac{58{,}319}{1+31{,}46\times e^{-0{,}231t}}\Harr t=22{,}11$ 

Como $t$ não é um número inteiro, o resultado tem que ser arredondado para cima. Ou seja, só após $23$ anos é que a capoeira atinge as $49$ aves, correspondendo ao ano $2001+23=2024$ .

Regressão logística

Também é possível analisar a evolução de um fenómeno ou população, quando estes não seguem exatamente o modelo logístico, através de uma regressão logística de ajuste ao conjunto de dados.

Exemplo

Considera o seguinte conjunto de dados referentes ao número de novos atletas inscritos na Federação Portuguesa de Futebol por ano, do distrito de Coimbra.

Ano	$1998$	$1999$	$2000$	$2001$	$2002$	$2003$	$2004$	$2005$	$2006$
Nº de atletas novos	$59$	$62$	$70$	$86$	$98$	$110$	$118$	$123$	$125$

Considera que o ano de $1998$ é o instante zero.

Encontra o modelo logístico que melhor se adequa a estes dados e estima o valor de novos atletas inscritos em $2009$ .

Recorrendo à calculadora gráfica, tens que:

$y=\dfrac{14{,}04}{1+156{,}60\times e^{-0{,}04x}}$ 