Modelo exponencial e regressões exponenciais

Explicação

O modelo exponencial é contínuo e definido pela expressão $P(t)=P_0\times r^t$ , em que $P_0$ é o tamanho inicial da população e $t$ representa o tempo em que se estuda a evolução da mesma.

Matemática Aplicada às Ciências Sociais; Modelos populacionais; 11º Ano; Modelo exponencial

Lembra-te que $r$ é a taxa de crescimento ou decréscimo da população, pelo que se $\boldsymbol{r>1}$ , $P(t)$ aumenta ao longo do tempo, verificando-se crescimento da população. Já se $\boldsymbol{0<r<1}$ , $P(t)$ diminui ao longo do tempo, o que se traduz num decréscimo da população.

Alternativamente, também é possível utilizar a expressão $P(t)=P_0\times e^{kt}$ , em que $e$ representa o número de Neper, um número irracional que é aproximadamente $2{,}72$ , sendo que $k$ corresponde a uma constante.

Por ser contínuo, este modelo é utilizado para populações em que o número de indivíduos é muito grande, tornando-se possível calcular o tamanho de uma população em qualquer altura, e não apenas por intervalos de números naturais.

Nota: Se $r$  for $1$ , a população não varia ao longo do tempo, tendo sempre o mesmo número de indivíduos.

Exemplo

Considera o modelo exponencial que representa a evolução contínua de uma população de patos num lago ao longo de $t$ meses, dada por $P(t)=2e^{1{,}25t}$ .

Tem-se que $P_0=2\times e^0=2\times1=2$ patos. Ao fim de um mês, já existem $6$  patos no lago (pois $P(1)=2\times e^{1{,}25}\approx6{,}98$ ) e, ao fim de dois, já são $24$ ${(P(2)=2\times e^{1{,}25\times2}\approx24{,}37).}$

Caso quisesses calcular quantos patos teria o lago ao fim de três meses e meio, precisarias apenas de calcular $P(3{,}5)$ , obtendo-se $P(3{,}5)=2\times e^{1{,}25\times3{,}5}\approx158{,}88$ , concluindo-se que nessa altura o lago teria $158$ patos.

Nota: O número de indivíduos de uma população é sempre a parte inteira do tamanho que obtiveste.

Regressão exponencial

Tal como no modelo linear, quando o crescimento da população não é regular, torna-se difícil encontrar a progressão geométrica que se aplica aos dados, sendo necessário criar um modelo exponencial que se ajuste aos dados existentes, recorrendo-se à regressão exponencial.

Este processo consiste em encontrar a curva de equação $y=a\times b^x$ (ou $y=a\times e^{bx}$ ) que melhor se ajusta a um conjunto de pontos de um diagrama de dispersão. Podes fazer isto colocando na calculadora os valores de tempo numa lista de valores de abcissas e os tamanhos da população correspondentes noutra de ordenadas e juntá-los numa só função com a função de regressão exponencial.

Exemplo

Considera agora que os valores da população de patos foram os registados na tabela abaixo, não se enquadrando numa expressão típica do modelo exponencial.

Número de meses	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Número de patos	$2$	$8$	$35$	$100$	$510$	$2034$

Utilizando o método referido acima para calculadoras gráficas, obtêm-se as equações $y=1{,}74\times4{,}11^x$ ou $y=1{,}74\times e^{1{,}41x}$ , pelo que as expressões populacionais seriam $P(t)=1{,}74\times4{,}11^t$ ou $P(t)=1{,}74\times e^{1{,}41t}$ .