Dados bivariados: Representação e interpretação

Explicação

Os dados bivariados, ou dados bidimensionais, são o resultado da observação de duas variáveis de uma mesma amostra.

São muito utilizados para verificar, por exemplo, se a estatura de uma pessoa está nos parâmetros desejados, comparando o seu peso com a sua altura.

A amostra de dados bivariados é representada da seguinte forma:

$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_i,y_i), ..., (x_n,y_n)$ ,

em que $x$ e $y$ são variáveis diferentes.

À representação dessa amostra num referencial ortonormado, em que os pontos $(x_i,y_i)$ representam cada par de dados, chamamos de diagrama de dispersão.

Esta representação gráfica ajuda a visualizar melhor o tipo de associação que existe entre as diferentes variáveis.

Diagrama de dispersão	Interpretação dos dados
	Em média, quando a variável $x$ aumenta, a variável $y$ também aumenta. Diz-se que são variáveis positivamente associadas. Assim, é possível traçar a reta com declive positivo que melhor se aproxima de todos os pontos do gráfico.
	Em média, quando a variável $x$ aumenta, a variável $y$ diminui. Diz-se que são variáveis negativamente associadas. Assim, é possível traçar a reta com declive negativo que melhor se aproxima de todos os pontos do gráfico.
	A nuvem de pontos é bastante dispersa, portanto, diz-se que não existe associação entre as variáveis.

Exemplo

Considera a seguinte tabela com os dados da classificação de um conjunto de $8$ alunos nos exames de Português e Matemática:

Aluno	A	B	C	D	E	F	G	H
Classificação de Português ( $\boldsymbol{x}$ )	$9$	$10$	$13$	$7$	$17$	$16$	$14$	$14$
Classificação de Matemática ( $\boldsymbol{y}$ )	$10$	$12$	$16$	$7$	$18$	$18$	$15$	$18$

O diagrama de dispersão desta amostra é o seguinte:

Matemática Aplicada às Ciências Sociais; Estatística; 10º Ano; Dados bivariados: Representação e interpretação

Como podes ver, as variáveis estão positivamente associadas, uma vez que, em média, à medida que as notas de Português ( $x$ ) são maiores, as notas de Matemática ( $y$ ) também o são.

Coeficiente de correlação linear

A correlação linear, ou coeficiente de correlação linear, é uma estatística que mede o grau de associação linear entre duas variáveis de uma mesma amostra.

Esta estatística representa-se por $r$ e é calculada da seguinte forma:

$r=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}$ ,

em que $\bar{x}$ é a média das observações da variável $x_i$ e $\bar{y}$ a média das observações da variável $y_i$ .

Propriedades

$r$ varia entre $-1$ e $1$ ;
Quanto maior for o módulo de $r$ , mais forte é a relação linear entre as variáveis;
Se $\boldsymbol{r>0}$ , existe uma associação positiva;
Se $\boldsymbol{r<0}$ , existe uma associação negativa;
A correlação não altera com a mudança de unidades das variáveis.

Interpretação geométrica do coeficiente de correlação linear

Diagrama de dispersão	Interpretação geométrica
	$\boldsymbol{r>0}$ Os maiores valores de $x_i$ correspondem aos maiores valores de $y_i$ . De um modo geral, ${(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})>0}$ .
	$\boldsymbol{r<0}$ Os maiores valores de $x_i$ correspondem aos menores valores de $y_i$ . De um modo geral, ${(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})<0}$ .
	$\boldsymbol{r=0}$ Não existe correlação linear entre as variáveis $x_i$ e $y_i$ .

Exemplo

Considerando os dados do exemplo de cima, qual é a correlação linear entre as notas nos exames de Português e Matemática? E quais são as conclusões que podes retirar disso?

A média das notas de Português é $\bar{x}=\dfrac{9+10+13+7+17+16+14+14}{8}=12{,}5$

A média das notas de Matemática é $\bar{y}=\dfrac{10+12+16+7+18+18+15+18}{8}=14{,}25$

Então, o coeficiente de correlação linear é $r=\dfrac{98}{\sqrt{88{,}25}\sqrt{121{,}5}}\approx0{,}946$ .

Isto quer dizer que as notas de Português e as notas de Matemática estão positivamente relacionadas, ou seja, em média, à medida que as notas de Português sobem, as notas de Matemática também sobem.

Para além disso, como o valor do coeficiente é muito próximo de $1$ , a relação entre estas duas variáveis é bastante forte.

Analisando o diagrama de dispersão da amostra, facilmente percebes que a correlação é positiva e também consegues perceber que os alunos que tiveram as melhores notas a Português foram os alunos que tiveram as melhores notas a Matemática.

Reta de regressão para fazer estimativas

Como viste anteriormente, quando as variáveis de uma amostra estão relacionadas linearmente, é possível traçar uma reta de ajuste a todos os pontos.

A essa reta chama-se de reta de regressão.

Propriedades

A soma dos quadrados das distâncias dos pontos à reta é mínima;
A reta de regressão pode não passar nos pontos do diagrama de dispersão;
O ponto $(\bar{x},\bar{y})$ chama-se centro de gravidade da distribuição;
A reta é definida pela expressão $y=ax+b$ , em que $(\bar{x},\bar{y})$ pertence à reta e $a$ tem o mesmo sinal que o coeficiente de correlação linear.

Como a reta de regressão descreve, aproximadamente, a "regularidade" da amostra, consegue-se saber o valor esperado de uma variável, sabendo de antemão o valor da outra variável.

Ou seja, em linguagem matemática, pode-se inferir o valor de $x$ para um dado valor de $y$ .

Esses valores são chamados de estimativas.

Exemplo

A reta de regressão da amostra dos exemplos de cima é a seguinte:

Matemática Aplicada às Ciências Sociais; Estatística; 10º Ano; Dados bivariados: Representação e interpretação

A expressão da reta é, aproximadamente, $y=1{,}14x+0{,}01$ .

Pode-se esperar que, por exemplo, um aluno com uma nota a Português igual a $14$ valores tenha uma nota a Matemática igual a $1{,}14\times14+0{,}01=15{,}97$ valores.