Método dos marcadores: Conceito e aplicação

Explicação

O método dos marcadores é uma forma de partilha equilibrada que é aplicável a bens discretos.

Se o número de intervenientes na divisão for $n$ , a metodologia é a seguinte:

Procedimento

1.	Colocam-se os items alinhados numa fila e numerados da esquerda para a direita
2.	Cada participante divide a fila em $n$ segmentos através da colocação de $n-1$ marcadores entre itens. Esta escolha deve ser feita de forma secreta.
3.	Começa-se a percorrer a fila da esquerda para a direita. Se o primeiro marcador encontrado pertencer à pessoa $A$ , esta pessoa fica com os itens que estão à esquerda do mesmo. Removem-se os marcadores restantes da pessoa $A$ .
4.	Continua-se a percorrer a fila na mesma direção, até se encontrar o segundo marcador de outra pessoa. Se este pertencer à pessoa $B$ , atribuem-se-lhe os itens que estão entre esse marcador e o primeiro marcador da pessoa $B$ .
5.	Repete-se o passo anterior de forma a que o $i$ -ésimo participante fique com o segmento entre o seu marcador $(i-1)$ e o seu marcador $i$ . Desta forma, cada um dos participantes fica com um dos segmentos que escolheu. O último participante fica com segmento mais à direita.
6.	Se sobrarem objetos há duas possibilidades: Caso o número de itens que sobre seja superior a $n$ , aplica-se novamente o método dos marcadores a esse conjunto. Caso contrário, os itens podem ser divididos por sorteio.

Nota: Quando os primeiros marcadores de dois participantes diferentes são colocados na mesma posição, os segmentos que devem ser atribuídos a esses participantes são escolhidos aleatoriamente.

Exemplo

A Beatriz, a Luísa e o Pedro querem dividir $12$ gomas entre si. Para isso, colocaram as gomas em fila, como vês abaixo.

Cada um posicionou secretamente $2$ marcadores, que estão legendados com a inicial dos seus nomes. Segundo o método dos marcadores, como o marcador mais à esquerda na fila é o $P_1$ , as três primeiras gomas são atribuídas ao Pedro. Seguidamente, retira-se o segundo marcador do Pedro, e a fila de gomas fica assim:

Agora, vês que o primeiro segundo marcador da fila é $B_{2}$ , e por isso, a Beatriz fica com as gomas entre $B_{1}$ e $B_{2}$ . Retirando os marcadores da Beatriz, a situação é:

Assim, a Luísa, sendo a última participante a ser atribuída gomas, fica com o segmento mais à direita, ou seja, com as gomas após $L_{2}$ . O procedimento resultou nas seguintes sobras:

Como há $4$ gomas para $3$ participantes, estas sobras podem ser divididas por uma nova ronda dos método dos marcadores. No entanto, como há grande probabilidade de empates, podem, em alternativa, ser sorteadas.

Limitações do método

Para o método dos marcadores funcionar, é necessário que certas condições se verifiquem:

O número de itens a dividir é bastante maior do que o número de intervenientes.
Os itens a dividir têm valores monetários baixos e aproximados.

Estas condições são consequência da eficácia do método depender da capacidade de cada participante conseguir particionar a fila de itens em segmentos de valor aproximado.

Exemplo

Se três pessoas quisessem aplicar o método dos marcadores à fila de objetos abaixo, é muito provável que a divisão suscitasse inveja por parte de algum dos intervenientes.

Matemática Aplicada às Ciências Sociais; Teoria da partilha equilibrada; 10º Ano; Método dos marcadores: Conceito e aplicação

Matemática Aplicada às Ciências Sociais; Teoria da partilha equilibrada; 10º Ano; Método dos marcadores: Conceito e aplicação

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