Resolução de equações trigonométricas

Explicação

Uma equação trigonométrica é uma equação em que a incógnita aparece como argumento de uma função trigonométrica, por exemplo.

Exemplo

A equação $\sin x = 1$ é uma equação trigonométrica.

Equações do tipo $\sin x = \sin a$

$\sin x = \sin a \Leftrightarrow x = a + 2k\pi\ \lor\ x = \pi - a + 2k\pi , \ k \in \mathbb{Z}$

Exemplo

$\sin x = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left(\cfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow \boxed{x = \cfrac{\pi}{3}+2k\pi \lor x = \cfrac{2\pi}{3}+2k\pi , k \in \mathbb{Z}}$

Equações do tipo $\cos x = \cos a$

$\cos x = \cos a \Leftrightarrow x = a + 2k\pi\ \lor\ x = - a + 2k\pi , \ k \in \mathbb{Z}$

Exemplo

$\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \left(\cfrac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow x = \cfrac{\pi}{2}+2k\pi \lor x = -\cfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow \boxed{x = \cfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} }$

Equações do tipo $\tan x = \tan a$

$\tan x = \tan a \Leftrightarrow x = a + k\pi\ , \ k \in \mathbb{Z}$

Exemplo

$\begin{aligned}\tan x &= -1 \Leftrightarrow \tan x = \tan\left(- \frac{\pi}{4} \right) \Leftrightarrow \boxed{x = -\frac{\pi}{4} + k\pi\ , \ k \in \mathbb{Z}}\end{aligned}$

Nota: Quando estudaste os zeros e extremos das funções trigonométricas, aprendeste a resolver as equações $\sin x = 0,\pm 1$ e $\cos x = 0,\pm 1$ , e também $\tan x = 0$ !

Equações com mais de um termo trigonométrico

Para resolveres equações com várias funções trigonométricas, costuma ser útil transformares a expressão usando fórmulas trigonométricas!

Exemplo

$\begin{aligned}&\ \ \quad \sqrt{3} \cos(\pi x) + 2 = 2\sin^2(\pi x) \Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow \sqrt{3} \cos(\pi x) +2 -2\sin^2(\pi x) = 0 \Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow \sqrt{3} \cos(\pi x) + 2\cos^2 (\pi x)= 0 \Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow \cos(\pi x) \left( \sqrt{3} + 2\cos (\pi x)\right) = 0 \Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow \cos(\pi x) = 0 \lor \cos (\pi x) = - \cfrac{\sqrt{3}}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow \pi x = \cfrac{\pi}{2} + k \pi \lor \cos (\pi x) = - \cos\left( \cfrac{\pi}{6} \right) = \cos\left( \cfrac{5\pi}{6} \right) , \ k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow x = \cfrac{1}{2} + k \lor \pi x = \cfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \lor \pi x = -\cfrac{5\pi}{6} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow \boxed{x = \cfrac{1}{2} + k \lor x = \cfrac{5}{6} + 2k \lor x = -\cfrac{5}{6} + 2k, \ k \in \mathbb{Z}}\end{aligned}$