Fórmulas trigonométricas: Conceito e aplicação

Fórmula fundamental da trigonometria

Esta fórmula é muito importante para conseguires fazer cálculos trigonométricos. Por essa razão, denomina-se Fórmula fundamental da trigonometria:

$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$

Fórmula derivada da fórmula fundamental da trigonometria:

A partir da Fórmula fundamental da trigonometria consegues, por exemplo, chegar a uma fórmula que não envolva o seno. Se dividires todos os membros da fórmula original por $\cos \alpha$ , obténs:

$\dfrac {\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\dfrac {\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac {1}{\cos^2\alpha}$

$1+\tan^2 \alpha=\cfrac{1}{\cos^2\alpha}$

Exemplo

Sabendo que $\sin x = \dfrac{3}{5}$ , qual é o $\cos x$ ?

$\begin{aligned}&\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow &\cos x = \sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2} \Leftrightarrow \cos x = \sqrt{\dfrac{16}{25}} \Leftrightarrow \boxed{\cos x = \dfrac{4}{5}}\end{aligned}$

Relação entre as funções trigonométricas de $\alpha$ e de $\alpha + 2k\pi$

Como as funções trigonométricas são periódicas, os seus parâmetros repetem-se a cada $2\pi$ :

$\begin{aligned}\sin(\alpha+2k\pi) &= \sin\alpha\\\cos(\alpha+2k\pi) &= \cos\alpha \qquad \text{para }\ k\in\mathbb{Z}\\\tan(\alpha+2k\pi) &= \tan\alpha\end{aligned}$

Exemplo

$\cos(0{,}45+1000\pi) = \boxed{\cos(0{,}45)}$

Relação entre as funções trigonométricas de $\alpha$ e de $-\alpha$ e $\pi\pm\alpha$

Se desenhares a circunferência trigonométrica, percebes que, para o seno, terás:

$\begin{aligned}\sin(\pi-\alpha) &= \sin\alpha\\\sin(\pi+\alpha) &= - \sin\alpha\\\sin(-\alpha) &= - \sin\alpha\end{aligned}$

Para o cosseno:

$\begin{aligned}\cos(\pi-\alpha) &= - \cos\alpha\\\cos(\pi+\alpha) &= - \cos\alpha\\\cos(-\alpha) &= \cos\alpha\end{aligned}$

Para a tangente:

$\begin{aligned}\tan(\pi-\alpha) &= - \tan\alpha\\\tan(\pi+\alpha) &= \tan\alpha\\\tan(-\alpha) &= -\tan\alpha\end{aligned}$

Exemplo

\tan\left(\pi + \alpha\right) \times \cos(\pi-\alpha) = \cfrac{\sin\left(\pi + \alpha\right)}{\cos \left(\pi + \alpha\right)} \times \cos(\pi-\alpha) = \cfrac{- \sin \alpha}{-\cos \alpha} \times ( - \cos \alpha) = \boxed{-\sin\alpha}

Relação entre as funções trigonométricas de $\alpha$ e $\frac{\pi}{2}\pm\alpha$

$\begin{aligned}\sin\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) &= \cos\alpha \\\cos\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) &= -\sin\alpha \\\sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) &= \cos\alpha \\\cos\left( \frac{\pi}{2} -\alpha \right) &= \sin\alpha \\\end{aligned}$

Nota: Observa que a função cosseno é igual à função seno transladada para a esquerda por $\pi/2$ !

Exemplo

\cos\left(\dfrac{4\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{2}\right) = - \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \boxed{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}