Equações cartesianas de um plano

Antes de introduzirmos o conceito de uma equação cartesiana de um plano, é importante conheceres dois conceitos:

Vetor normal a um plano

Um vetor normal a um plano é um vetor não nulo perpendicular a um plano.

Assim, o vetor $\overrightarrow{n}$ é normal ao plano $\beta$ , se qualquer reta do vetor diretor $\overrightarrow{n}$ for perpendicular ao plano $\beta$ .

Matemática A; Vetores no espaço; 11º Ano; Equações cartesianas de um plano

Vetor paralelo a um plano

Um vetor é paralelo a um plano, quando for um vetor diretor de uma reta contida no plano.

Assim, o vetor $\overrightarrow{u}$ , vetor diretor da reta $g$ , é paralelo ao plano $\beta$ se a reta $g$ estiver contida no plano $\beta$ .

Matemática A; Vetores no espaço; 11º Ano; Equações cartesianas de um plano

A fórmula da equação cartesiana de um plano

Observa a imagem seguinte:

Matemática A; Vetores no espaço; 11º Ano; Equações cartesianas de um plano

As equações cartesianas têm por base a seguinte igualdade: sendo os pontos $H(x_0, y_0, z_0)$ e $P(x,y, z)$ dois pontos pertencentes ao plano $\beta$ , e sendo o vetor $\overrightarrow{HA}(a, b, c)$ normal ao plano $\beta$ , então,

$\begin{aligned}&\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HP}=0 \Harr\\\Harr& (a,b,c)\cdot (x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0\Harr\\\Harr& a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\end{aligned}$

De uma forma mais simples, a equação geral de um qualquer plano é dada por:

$ax+by+cz+d=0$ , em que $d=-(ax_0+by_0+cz_0)$

Retas perpendiculares e paralelas a um plano

Uma reta é perpendicular a um plano apenas se o vetor diretor dessa reta for colinear a um vetor normal desse plano.