Equação vetorial de uma reta no espaço

Explicação

Seja $r$ uma reta representada num referencial ortonormado no espaço, e $\overrightarrow{v}$ um dos seus vetores diretores.

Qualquer ponto da reta $r$ pode ser escrito da seguinte forma:

$\begin{aligned}&P=A+\lambda\overrightarrow{v}\Harr\\\Harr \ & (x,y,z)=(a_1,a_2,a_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3)\end{aligned}$

sendo $A$ um ponto qualquer da reta $r$ e $\lambda\isin\reals$ .

A esta equação chamamos de equação vetorial da reta $r$ .

Nota: Se duas retas $r$ e $s$ forem coincidentes, então a equação vetorial de $r$ é igual à equação vetorial de $s$ .

Sistema de equações paramétricas de uma reta

A equação vetorial de uma reta pode ser escrita através das coordenadas dos seus componentes.

Assim, sendo $A(a_1,a_2,a_3)$ um ponto pertence à reta, e $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$ um seu vetor diretor, as coordenadas de um ponto arbitrário $P(x,y,z)$ da reta verificam as seguintes equações:

$\begin{aligned}&(x,y,z)=(a_1,a_2,a_3)+\lambda(v_1,v_2,v_3)\Harr\\\Harr \ & \begin{cases} x=a_1+\lambda v_1 \\ y=a_2+\lambda v_2 \\ z=a_3+\lambda v_3\end{cases} \Harr \\\Harr \ & x=a_1+\lambda v_1 \ \land \ y=a_2+\lambda v_2 \ \land \ z=a_3+\lambda v_3, \ \lambda\isin\reals\end{aligned}$

A este sistema chamamos de sistema de equações paramétricas da reta.

Exemplo

Qual é a equação vetorial da reta $g$ , cujo vetor $\overrightarrow{t}$ de coordenadas $(2,5,4)$ é seu vetor diretor, e cujo ponto $D(2,1,0)$ lhe pertence?

Podes escrever a equação vetorial da reta $g$ da seguinte forma:

$\begin{aligned}&P=D+\lambda\overrightarrow{t}\Harr\\\Harr \ & (x,y,z)=(2,1,0)+\lambda(2,5,4), \ \ \ \lambda\isin\reals \end{aligned}$

Por outro lado, o sistema de equações paramétricas da reta $g$ é:

 $\begin{aligned}& \begin{cases} x=2+2\lambda \\ y=1+5\lambda \\ z=4\lambda\end{cases} \Harr \\\Harr \ & x=2+2\lambda \ \land \ y=1+5\lambda \ \land \ z=4\lambda, \ \lambda\isin\reals\end{aligned}$