Regras de primitivação no cálculo de primitivas

Explicação

Assim como existem regras para derivar, existem regras para calcular primitivas. Nas regras seguintes, usamos $u$ para designar uma função, e $u'$ para designar a sua função derivada.

Função constante

Para $k\in \mathbb{R}$ ,

$\int k\ dx = k x + c,\ c\in \mathbb{R}$

Exemplo

$\int \pi\ dx = \boxed{\pi x + c,\ c \in \mathbb{R}}$

Polinómios

Para $\alpha \in \mathbb{R} \backslash \{-1,0\}$ :

$\int x^\alpha dx = \cfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + c, \ c\in\mathbb{R}$

$\int \left[ u'(x) u(x)^\alpha \right] dx = \cfrac{u(x)^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + c, \ c\in\mathbb{R}$

Exemplo

$\\\int \sqrt x \ dx = \int x^{\frac{1}{2}} \ dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \boxed{\frac{2}{3} \sqrt x^3 + c, \ c \in \mathbb{R}}$

$\displaystyle \int 2x (x^2+1)^2 \ dx = \boxed{\cfrac{(x^2+1)^3}{3} +c,\ c\in\mathbb{R} }$

Exponencial

$\int e^x dx = e^x+ c, \ c \in \mathbb{R}$

$\int \left[ u'(x) e^{u(x)} \right] dx = e^{u(x)} + c,\ c \in \mathbb{R}$

Exemplo

$\int 2x\ e^{x^2}dx = \boxed{e^{x^2} + c , \ c \in \mathbb{R}}$

Logaritmo

$\displaystyle \int \cfrac{1}{x}\ dx = \ln|x| + c,\ c \in \mathbb{R}$

$\displaystyle\int \cfrac{u'(x)}{u(x)}\ dx = \ln|u(x)| + c, \ c \in \mathbb{R}$

Exemplo

$\int \tan x \ dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \ dx = \int \sin x (\cos x)^{-1} \ dx = \boxed{- \ln|\cos x| + c, \ c \in \mathbb{R}}$

Funções trigonométricas

$\int \sin x\ dx = -\cos x + c, \ c \in \mathbb{R}$

$\int \cos x\ dx = \sin x + c,\ c \in \mathbb{R}$

$\int \left[ u'(x) \sin \left(u(x)\right) \right] dx = -\cos\left(u(x)\right) + c,\ c \in \mathbb{R}$

$\int \left[ u'(x) \cos \left(u(x)\right) \right] dx = \sin\left(u(x)\right) + c, \ c \in \mathbb{R}$

Exemplo

$\int (3x^2+1) \sin(x^3+x)\ dx = \boxed{-\cos(x^3+x) + c, \ c \in \mathbb{R}}$

Nota: Se derivares as primitivas obtidas, podes confirmar que correspondem à função do lado esquerdo.