Levantamento de indeterminações: Resolução de problemas

Indeterminação do tipo $\infty - \infty$

Em geral, colocar fatores em evidência permite levantar indeterminações deste tipo.

Exemplo

No cálculo de $\lim (n^3-n^2)$ , surge uma indeterminação do tipo $\infty-\infty$ , que pode ser levantada ao reescrever $n^3-n^2$ como $n^3\left(1-\dfrac{1}{n}\right)$ , que é o produto de uma sucessão que tende para $+\infty$ por outra que tende para $1$ . Logo, $\lim (n^3-n^2)=+\infty$ .

Limite de um polinómio na variável $n$

O processo anterior permite concluir que o limite de um polinómio na variável $n$ é o limite do termo de maior grau ( $+\infty$ se o coeficiente deste termo for positivo e $-\infty$ se for negativo).

Exemplo

$\lim (3n^2-n+1)= \lim (3n^2)=+\infty$

$\lim (-n^3+4)=\lim(-n^3)=-\infty$

Limite de expressões que envolvem radicais

Por vezes, em expressões que envolvem radicais, a colocação de fatores em evidência levanta a indeterminação.

Exemplo

$\lim (n-\sqrt{n})= \lim [\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)]=+\infty$

Noutros casos, esta técnica não é suficiente (cai-se numa indeterminação do tipo $\infty \times 0$ ). Em geral, multiplica-se e divide-se pela expressão conjugada.

Exemplo

$\begin{aligned}\lim (\sqrt{n^2+1}-n)&=\lim \dfrac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{(\sqrt{n^2+1}+n)}\\&=\lim \dfrac{n^2+1-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\lim \dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\\&=\dfrac{1}{+\infty}=0\end{aligned}$

Indeterminação do tipo $\frac{\infty}{\infty}$
Surgem, por vezes, no cálculo do limite do quociente entre polinómios.
Nestes casos, o limite é igual ao quociente entre os termos de maior grau do numerador e do denominador.

Exemplo

$\lim \frac{5n^2-3n+1}{4n^3+2n}= \lim \frac{5n^2}{4n^3}= \lim \frac{5}{4n}=0$

$\lim \frac{n^2-2n}{6n^2+1}= \lim \frac{n^2}{6n^2}= \lim \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$

$\lim \frac{5n^3-5n}{n^2+1}= \lim \frac{5n^3}{n^2}= \lim (5n) = +\infty$

Indeterminação do tipo $0 \times \infty$

Em geral, pode ser reduzida a uma indeterminação do tipo $\frac{\infty}{\infty}$ .

Exemplo

$\lim \left[(2n) \times\left(\frac{1}{n}\right)\right] = \lim \frac{2n}{n}= \lim 2 = 2$

$\lim \left[(n^3 )\times\left(\frac{3}{n}\right)\right] = \lim \frac{3n^3}{n}= \lim (3n^2) = +\infty$

$\lim \left[(n) \times\left(\frac{7}{n^2}\right)\right] = \lim \frac{7n}{n^2}= \lim \frac{7}{n} = 0$

Indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$
Também conduz frequentemente ao aparecimento de uma indeterminação do tipo $\frac{\infty}{\infty}$ .

Exemplo

$\lim \frac{\frac{1}{n}}{\frac{3}{n^2}} = \lim \frac{n^2}{3n} =\lim \frac{n}{3}= +\infty$