Segunda derivada e concavidades de uma função

As concavidades do gráfico de uma função podem ser determinadas através a derivada de segunda ordem.

Derivada de segunda ordem

Dada uma função $f$ , diferenciável num intervalo $I$ , tal que a função derivada $f'$ é diferenciável em $a \in I$ , define-se a derivada $(f')'(a)$ como a derivada de segunda ordem, ou segunda derivada, de $f$ no ponto $a$ , representada por $f''(a)$ .

Se a função $f$ for duas vezes diferenciável no conjunto $I$ , então $f''$ é a função que a cada $x \in I$ faz corresponder $f''(x)$ .

Nota: Se existir segunda derivada de $f$ para todo $a \in I$ , então diz-se que $f$  é duas vezes diferenciável em $I$ .

Concavidades

A segunda derivada de uma função é muito importante para conheceres as concavidades do gráfico da função. Dada uma função $f$ , duas vezes diferenciável num intervalo $I$ , tem-se que, para todo o $x\in I$ ,

Se	${f''(x)>0}$	$\longrightarrow$	$f'$ é crescente
		$\longrightarrow$	gráfico de $f$ tem concavidade voltada para cima
Se	${f''(x)<0}$	$\longrightarrow$	$f'$ é decrescente
		$\longrightarrow$	gráfico de $f$ tem concavidade voltada para baixo

Nota: Dado $c\in I$ , se $f'(c)=0$ num intervalo em que a concavidade é voltada para cima (baixo), então existe um mínimo (máximo) relativo em $c$ .

Pontos de inflexão

O ponto do gráfico da função em que a concavidade troca de sentido chama-se ponto de inflexão.

Nota: se uma função $f$ , duas vezes diferenciável num intervalo $I$ , respeitar ${f''(c)=0}$ para um certo $c\in I$ , não é garantido que $(c,f(c))$ seja um ponto de inflexão. Por exemplo, a função $f(x)=x$ não tem pontos de inflexão.

Exemplo

Seja $f$ a função definida por $f(x)=\dfrac{4}{5}x^5-\dfrac{2}{3}x^3$ . Estuda o sentido das concavidades e os pontos de inflexão do gráfico da função e compara com o gráfico:

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 12º Ano; Segunda derivada e concavidades de uma função

Começa por calcular a segunda derivada de $f$ :

Primeira derivada:	$f'(x)=4x^4-2x^2$
Segunda derivada:	$f''(x)=16x^3-4x$

Decompõe em fatores e descobre os zeros:

$\begin{aligned} f''(x)=0&\Leftrightarrow4x(4x^2-1)=0\Leftrightarrow\\&\Leftrightarrow 8x\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right) \Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow x=0 \lor x=-\frac{1}{2} \lor x=\frac{1}{2}\end{aligned}$

Depois faz uma tabela:

$x$	$-\infin$	$-\dfrac{1}{2}$		$0$		$\dfrac{1}{2}$	$+\infin$
$f''(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
Concavidade	$\frown$	P.I.	$\smile$	P.I.	$\frown$	P.I.	$\smile$

O gráfico da função $f$ tem concavidade voltada para cima nos intervalos $\left]-\dfrac{1}{2},0\right[$ e $\left]\dfrac{1}{2},+\infin\right[$ e voltada para baixo nos intervalos $\left]-\infin, - \dfrac{1}{2}\right[$ e $\left]0, \dfrac{1}{2}\right[$ , e pontos de inflexão em $x=0$ , $x=-\dfrac{1}{2}$ e $x=\dfrac{1}{2}$ .