Cálculo da derivada de uma função num ponto

Taxa média de variação

A taxa média de variação da função $f$ entre as abcissas $a$ e $b$ indica quanto a função cresce (ou decresce), em média, por cada unidade de abcissa que avança.

Corresponde ao declive da reta $AB$ , secante à função, e calcula-se através de:

$t.m.v._{(f,a,b)}=m_{AB}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 11º Ano; Cálculo da derivada de uma função num ponto

Exemplo

Considera a função $f$ , dada pelo gráfico abaixo. A sua taxa média de variação entre $2$ e $7$ é $t.m.v._{(f,2,7)}=m_{AB}=\dfrac{5-4}{7-2}=\dfrac{1}{5}$ , correspondendo ao declive da reta secante a $f$ nos pontos $(2,4)$ e $(7,5)$ .

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 11º Ano; Cálculo da derivada de uma função num ponto

Nota: O declive da reta secante não indica a monotonia da função nesse intervalo! Trata-se de uma média.

Exemplo

No caso do exemplo anterior, apesar de a taxa média de variação entre $2$ e $7$ ser positiva, isso não quer dizer que esta seja crescente no intervalo $[2,7]$ . Na verdade, $f$ é decrescente numa parte do intervalo e crescente noutra.

Derivada

Para avaliar a variação da função num ponto específico e não num intervalo, usa-se a taxa de variação instantânea, que é a derivada da função nesse ponto.

A derivada num ponto corresponde ao declive da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto e calcula-se através de:

$f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ou $f'(x_0)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ (sendo $x=x_0+h$ )

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 11º Ano; Cálculo da derivada de uma função num ponto

Exemplo

A derivada da função $f(x)=4x^2+2$ no ponto $x=1$ é:

$\begin{aligned} f'(1)&=\lim\limits_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\&=\lim\limits_{x \to 1} \frac{4x^2+2-(4\times1^2+2)}{x-1}\\& =\lim\limits_{x \to 1} \frac{4x^2-4}{x-1}\\&=\lim\limits_{x \to 1} \frac{4(x^2-1)}{x-1}\\& =\lim\limits_{x \to 1} \frac{4(x-1)(x+1)}{x-1}\\&=\lim\limits_{x \to 1} (4(x+1))\\&=4\times(1+1)=8 \end{aligned}$

Assim, o declive da reta tangente ao gráfico da função $f$ em $x=1$ é $8$ .

Função diferenciável

Se uma função tem derivada no ponto $x=x_0$ (isto é, se o limite que permite o seu cálculo resultar num número real), então diz-se que ela é diferenciável nesse ponto.

Exemplo

Pelo exemplo anterior, conclui-se que a função tem derivada em $x=1$ , logo a função $f$ é diferenciável nesse ponto.