Determinação das concavidades do gráfico de uma função

Concavidade voltada para cima

Uma função $f$ tem concavidade voltada para cima num dado intervalo se e só se, escolhendo três pontos ao acaso $A$ , $B$ e $C$ (com abcissas $a<b<c$ ), se tiver sempre que $m_{AB}<m_{BC}$ , ou seja, que o declive da reta $AB$ é menor que o declive da reta $BC$ .

Assim, se ligares quaisquer dois pontos do gráfico de $f$ , as imagens das abcissas entre eles vão ficar abaixo desses segmentos de reta.

Exemplo

No gráfico abaixo, a função tem a concavidade voltada para cima, visto que o declive de $AB$ é $m_{AB}=\dfrac{2-4}{5-3}=-1$ e $m_{BC}=\dfrac{3-2}{7-5}=\dfrac{1}{2}$ , logo $m_{AB}<m_{BC}$ .

Ligando $A$ a $B$ , por exemplo, as imagens de abcissas entre $3$ e $5$ situam-se abaixo do segmento de reta $[AB]$ .

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 10º Ano; Determinação das concavidades do gráfico de uma função

Concavidade voltada para baixo

Uma função $f$ tem concavidade voltada para baixo num dado intervalo se e só se, escolhendo três pontos ao acaso $A$ , $B$ e $C$ (com abcissas $a<b<c$ ), se tiver sempre que $m_{AB}>m_{BC}$ .

Assim, se ligares quaisquer dois pontos, as imagens das abcissas entre eles vão ficar acima desse segmento de reta.

Exemplo

No gráfico abaixo, a função tem a concavidade voltada para cima, visto que $m_{AB}=\dfrac{2-1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$ e $m_{BC}=\dfrac{-1-2}{5-3}=-\dfrac{3}{2}$ , logo $m_{AB}>m_{BC}$ .

Ligando $A$ a $C$ , por exemplo, as imagens de abcissas entre $1$ e $5$ situam-se acima do segmento de reta $[AC]$ .

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 10º Ano; Determinação das concavidades do gráfico de uma função