Monotonia

Considera uma função $f$ e um subconjunto $A \subset D_f$ . Em $A$ , a função é:

crescente, se $\forall a, b \in A, b>a \Rightarrow f(b)>f(a)$

decrescente, se $\forall a, b \in A, b>a \Rightarrow f(b)<f(a)$

constante, se $\forall a, b \in A, b>a \Rightarrow f(b)=f(a)$

Se a função for crescente ou decrescente em $A$ , diz-se que é monótona nesse intervalo. $A$ será o seu intervalo de monotonia.

Monotonia em sentido lato

Em $A$ , a função é:

crescente em sentido lato, se $\forall a, b \in A, b>a \Rightarrow f(b) \ge f(a)$

decrescente em sentido lato, se $\forall a, b \in A, b>a \Rightarrow f(b) \le f(a)$

Se a função for crescente ou decrescente em $A$ , diz-se que é monótona em sentido lato nesse intervalo.

Exemplo

Utilizando a função do exemplo anterior, a mesma será crescente em sentido lato, por exemplo, em $]-\infin,-7]$ ou em $[-5,2]$ , e decrescente em sentido lato em $[-7,-2]$ .

Em todos estes intervalos, a função é monótona em sentido lato.

Vizinhança

A vizinhança $r$ de $x_0$ (com $r>0$ e $x_0 \in \mathbb{R}$ ) é o conjunto de números que estão a uma distância de $r$ unidades para a esquerda ou para a direita de $x_0$ . Assim: $V_{r}(x_0)=]x_0-r,x_0+r[$ .

Exemplo

A vizinhança

$V_{0{,}5}(2)=]2-0{,}5;2+0{,}5[=\boxed{]1{,}5;2{,}5[}$

Corresponde ao o conjunto de números reais que estão a uma distância máxima de $0{,}5$ do número $2$ .

Nota: Repara que, ao contrário dos intervalos de monotonia, a vizinhança é um intervalo aberto!

Extremo relativo (ou local)

 $f(a)$ é um máximo relativo se existir uma vizinhança de $a$ para a qual todas as imagens são inferiores a $f(a)$ . Ou seja, se a função for decrescente à esquerda e à direita de $a$ .
$f(a)$ é um mínimo relativo se existir uma vizinhança de $a$ para a qual todas as imagens são superiores a $f(a)$ . Ou seja, se a função for crescente à esquerda e à direita de $a$ .

Exemplo

Na função apresentada inicialmente, $f(-7)$ , $f(2)$ e $f(5)$ são máximos relativos, e $f(4)$ é um mínimo relativo.

Extremo absoluto

$f(a)$ é um máximo absoluto se $\forall x \in D_f, f(a) \ge f(x)$

$f(a)$ é um mínimo absoluto se $\forall x \in D_f, f(a) \le f(x)$

Exemplo

Na mesma função, $f(8)$ é um mínimo absoluto, porque é o menor valor da função.

Não existe nenhum máximo absoluto, porque a função tende para $+\infin$ .

Nota: Ao objeto $a$ cuja imagem $f(a)$ é um máximo ou um mínimo chama-se maximizante ou minimizante, respetivamente.

Exemplo

$f(5)$ é um máximo relativo. Então, $x=5$ é o seu maximizante.