Funções racionais: Limites e assíntotas

Explicação

Uma função racional é uma função dada pela divisão de dois polinómios.

$f(x)= \dfrac{P(x)}{Q(x)}$

Exemplo

A função $f$ é um exemplo de uma função racional:

$f(x)=\dfrac{2x+11}{x+7}$

Assíntotas e monotonia

Vais estudar em específico as funções racionais que se podem escrever da seguinte forma:

$f(x)=a+\dfrac{b}{x-c}$

Então, tens que:

$x=c$ é uma assíntota vertical da função $f$ .
$y=a$ é uma assíntota horizontal da função $f$ .
Se $b>0$ então a função é estritamente decrescente em $]-\infty, c[$ e de $]c,+\infty[$ .
Se $b<0$ então a função é estritamente crescente em $]-\infty,c[$ e de $]c,+\infty[$ .

Exemplo

Considera mais uma vez a função racional do exemplo anterior:

$f(x)=\dfrac{2x+11}{x+7}$

Então tens que $f(x)$  pode ser escrita na forma $f(x)=a+\dfrac{b}{x-c}$ , com $a,b,c \in \R$ e $b\neq 0$ , através do algoritmo da divisão.

Matemática A; Limites e continuidade de uma função; 11º Ano; Funções racionais: Limites e assíntotas

Assim ficas com $f(x)= 2+\dfrac{-3}{x+7}$ .

Agora, considera o estudo das funções $f$  e $g$ quanto a assíntotas e monotonia.


Tem-se que a função: $f(x)= 2+\dfrac{-3}{x+7}$ possui uma assíntota horizontal $y=2$ e uma assíntota vertical $x=-7$ . Como $-3<0$ a função é crescente em $]-\infty, -7[$ e em $]-7, +\infty[$ .	Tem-se que a função: $g(x)=2+ \dfrac{3}{x-4}$ possui uma assíntota horizontal $y=2$ e uma assíntota vertical $x=4$ . Como $3>0$ a função é decrescente em $]-\infty, 4[$ e em $]4,+\infty[$ .

Equação fracionária

Sejam $P(x)$ e $Q(x)$ dois polinómios tens que $f(x)=\dfrac{ P(x)}{Q(x)}$ é uma função racional, e os seus zeros serão calculados da seguinte forma:

$f(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{P(x)}{Q(x)}=0 \Leftrightarrow P(x)=0 \land Q(x) \neq 0$

Exemplo

Seja $f(x)= \dfrac{x^2-1}{x+1}$ . Calcula os zeros da função.

$f(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-1}{x+1}=0 \Leftrightarrow x^2-1=0 \land x+1 \neq0 \Leftrightarrow (x=1 \lor x=-1) \land x \neq-1\Leftrightarrow x=1$

O único zero de $f$ será em $x=1$ .

Inequação fracionária

Seja $f(x)=\dfrac{ P(x)}{Q(x)}$ uma função racional, então a inequação $\dfrac{ P(x)}{Q(x)}>0$ é resolvida da seguinte forma:

Procedimento

1.	Estudar o sinal de $P(x)$ .
2.	Estudar o sinal de $Q(x)$ .
3.	Através de um quadro de sinais, estudar o sinal de $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ .
4.	Ver quando é que a função racional é positiva.

Exemplo

Resolve a seguinte inequação:

$\dfrac{x^2+x-2}{x+1}>0$

1. Estudar o sinal de $P(x)$

$x^2+x-2=0 \Leftrightarrow x=1 \lor x=-2$

Como o coeficiente do termo de maior grau é positivo, então:

$x$	$-\infty$	$-2$		$-1$		$1$	$+\infty$
$x^2+x-2$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+1$
$\dfrac{x^2+x-2}{x+1}$

2. Estudar o sinal de $Q(x)$

$x+1=0 \Leftrightarrow x=-1$

Como o declive é positivo, então:

$x$	$-\infty$	$-2$		$-1$		$1$	$+\infty$
$x^2+x-2$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$\dfrac{x^2+x-2}{x+1}$

3. Através de um quadro de sinais, estudar a monotonia de $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$

$x$	$-\infty$	$-2$		$-1$		$1$	$+\infty$
$x^2+x-2$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$\dfrac{x^2+x-2}{x+1}$	$-$	$0$	$+$	n.d.	$-$	$0$	$+$

Então, tem-se o seguinte conjunto solução:

$S= ]-2,-1[ \cup]1,+\infty[$