Cálculo de limites e levantamento de indeterminações

Limites infinitos

Quando, ao calcular um limite, se tem uma constante não infinita e diferente de $0$ a dividir por $0$ , o resultado do limite será infinito.

Em particular, quando se tem $0^+$ , considera-se o denominador como positivo. E, quando se tem $0^-$ , considera-se o denominador negativo.

Exemplo

Considera a função $f$ .

$f(x)=\frac{5}{x-2}$

Calcula os limites laterais $\lim\nolimits_ {x \to \ 2^+}f(x)$ e $\lim\nolimits_ {x\to \ 2^-}f(x)$ .

$\lim\limits_ {x\to \ 2^+}f(x)=\lim\limits_ {x\to \ 2^+}\left( \frac{5}{x-2}\right)=\frac{5}{2^+-2}=\frac{5}{0^+}=+\infty$

$\lim\limits_ {x\to \ 2^-}f(x)=\lim\limits_ {x\to \ 2^-}\left( \frac{5}{x-2} \right)=\frac{5}{2^--2}=\frac{5}{0^-}=-\infty$

O sinal do denominador conjugado com o sinal do numerador determinam se o limite é $+\infty$  ou $-\infty$ .

Indeterminações

No processo de cálculo de limites podem aparecer indeterminações. Isto é, um cálculo que não permite determinar o valor do limite.

Dependendo da indeterminação e da função apresentada existem métodos que te permitem levantá-la.

Função	Indeterminação	Método
Polinomial	$+\infty - \infty$	Colocar em evidência o termo de maior grau.
Quociente de polinómios	$\frac{\infty}{\infty}$	Colocar em evidência o termo de maior grau quer no numerador, quer no denominador.
Quociente de polinómios	$\frac{0}{0}$	Fatorizar numerador e denominador e cortar os fatores comuns.
Raízes	$+\infty - \infty$	Multiplicar e dividir pelo conjugado.
Raízes	$\frac{\infty}{\infty}$	Colocar em evidência o termo de maior grau.

Nota: Os métodos apontados resultam habitualmente, contudo em alguns casos podem não ser suficientes ou não se aplicarem. O treino do teu raciocínio é fundamental!

Exemplo

Considera a resolução dos seguintes limites.

Função	Indeterminação	Exemplo
Polinomial	$+\infty-\infty$	$\lim\limits_ {x\to \ -\infty}(x^2+2x+1)=\lim\limits_ {x\to \ -\infty}(x^2(\frac{x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2}))=\lim\limits_ {x\to \ -\infty}(x^2(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}))=1+\frac{2}{-\infty}+\frac{1}{+\infty}=1+0+0=1$
Quociente de polinómios	$\frac{+\infty}{+\infty}$	$\lim\limits_ {x\to \ +\infty}\left( \frac{x^2+1}{x+2} \right) =\lim\limits_ {x\to \ +\infty}\left( \frac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x^2(\frac{x}{x^2}+\frac{2}{x^2})}\right)=\lim\limits_ {x\to \ +\infty}\left( \frac{1+\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}\right) =\frac{1+\frac{1}{+\infty}}{\frac{1}{+\infty}+\frac{2}{+\infty}}=\frac{1}{0^+}=+\infty$
Quociente de polinómios	$\frac{0}{0}$	$\lim\limits_ {x\to \ -1}\left( \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} \right)=\lim\limits_ {x\to \ -1}\left( \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}\right) =\lim\limits_ {x\to \ -1}\left( \frac{x+1}{x-1}\right) =\frac{-1+1}{-1-1}=\frac{0}{-2}=0$
Raízes	$+\infty-\infty$	$\lim\limits_ {x\to \ +\infty}\left( \sqrt{x^2+1}-x \right)=\lim\limits_ {x\to \ +\infty} \left( \frac{ (\sqrt{x^2+1}-x) \times (\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)=\lim\limits_ {x\to \ +\infty}\left( \frac{ (x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}\right) =\lim\limits_ {x\to \ +\infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \right)=\frac{1}{+\infty}=0$
Raízes	$\frac{+\infty}{+\infty}$	$\lim\limits_ {x\to \ +\infty}\left( \frac{\sqrt{x^2+x}}{x+2}\right)=\lim\limits_ {x\to \ +\infty}\left( \frac{\sqrt{x^2(1+\frac{x}{x^2})}}{x+2}\right)=\lim\limits_ {x\to \ +\infty}\left( \frac{x \times \sqrt{1+\frac{1}{x}}}{x \times (1+\frac{2}{x})}\right)=\lim\limits_ {x\to \ +\infty}\left( \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{1+\frac{2}{x}}\right)=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{+\infty}}}{1+\frac{2}{+\infty}}=\frac{\sqrt{1+0}}{1+0}=1$