Definição segundo Heine

Seja $f$ uma função real de variável real, $a$ um ponto aderente ao seu domínio e ${b \in \R }$ ou $b=\pm \infty$ .

Temos que, $\lim\nolimits_{x\to \ a} f(x)=b$ se e só se $f(x_n) \to b$ para qualquer função $x_n$ pertencente ao domínio de $f$ com $x_n \to a$ .

Nota: O limite de uma função num ponto ou é único, ou não existe.

Cálculo do limite de uma função pela definição

Procedimento

1.	Ver se $a$ pertence à aderência do domínio de $f$ .
2.	Considerar uma sucessão $x_n$ qualquer com $x_n \in D_f, \forall n\in \N$ e $x_n \to a$ .
3.	Calcular $\lim f(x_n)$ .
4.	Concluir o valor de $\lim\nolimits_{x\to \ a} f(x)=b$ .

Exemplo

Mostra, utilizando a definição de limite, que $\lim\nolimits_{x\to \ 2} f(x)=b$ com $f(x)=\frac{3x^2-2}{x}$ .

1. Ver se $a$  pertence à aderência do domínio de $f$ .
O domínio de $f$ é $\R\backslash \{0 \}$ , logo como $2$ pertence ao domínio irá pertencer à aderência.

2. Considerar uma sucessão $x_n$  qualquer com $x_n \in D_f, \forall n\in \N$  e $x_n \to a$ .

Seja $x_n \in D_f, \forall n\in \N$ e $x_n \to 2$

3. Calcular $\lim f(x_n)$ .

$\lim f(x_n)= \lim \left( \frac{3(x_n)^2-2}{x_n}\right)= \frac{3(\lim x_n)^2-2}{\lim x_n}=\frac{3 \times (2)^2-2}{2}=5$

4. Concluir o valor de $\lim\nolimits_{x\to \ a} f(x)$ .
$\lim\limits_{x\to \ 2} f(x)=b=5$

Limites laterais

Seja $f$ uma função real de variável real e $a$ um ponto aderente ao domínio.

Chamamos limite de $f(x)$ à direita de $a$ , ao limite da função quando a função tende para $a$ segundo valores maiores que $a$ , e denotamos por $\lim\nolimits_{x\to \ a^+} f(x)$ .

Chamamos limite de $f(x)$ à esquerda de $a$ , ao limite da função quando a função tende para $a$ segundo valores menores que $a$ , e denotamos por $\lim\nolimits_{x\to \ a^-} f(x)$ .

Exemplo

Considera a seguinte figura.

Matemática A; Limites e continuidade de uma função; 11º Ano; Cálculo do limite de uma função num ponto

Temos que, $\lim\limits_{x\to \ 4^+} f(x)=6$ e $\lim\limits_{x\to \ 4^-} f(x)=1$ .

Existência de limite

Seja $f$ uma função real de variável real e $a$ um ponto pertencente ao domínio. Se $\lim\nolimits_{x\to \ a^+} f(x)=\lim\nolimits_{x\to \ a^-} f(x)=f(a)=b$ então $\lim\nolimits_{x\to \ a} f(x)=b$

Seja $f$ uma função real de variável real e $a$ um ponto pertencente à aderência mas não ao domínio. Se $\lim\nolimits_{x\to \ a^+} f(x)=\lim\nolimits_{x\to \ a^-} f(x)=b$ então $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=b$ .

Exemplo

$\boldsymbol{a\in D_f}$

Como ${\lim\limits_{x\to \ a^+} f(x)=\lim\limits_{x\to \ a^-} f(x)=f(a)=b }$ então $\lim\limits_{x\to \ a} f(x)=b$	Não existe limite porque ${\lim\limits_{x\to \ a^+} f(x)=\lim\limits_{x\to \ a^-} f(x) \neq f(a) }$
$\boldsymbol{a\notin D_f}$

Como ${\lim\limits_{x\to \ a^+} f(x)=\lim\limits_{x\to \ a^-} f(x)=b }$ , então $\lim\limits_{x\to \ a} f(x)=b$	Não existe limite porque ${\lim\limits_{x\to \ a^+} f(x) \neq \lim\limits_{x\to \ a^-} f(x)}$