Combinações: Conceito e identificação

Definição

Dado um conjunto $A$ com $n$ elementos, uma combinação de $A$ " $p$ a $p$ " é simplesmente um subconjunto $B\subseteq A$ com $p$ elementos. Como num conjunto a ordem dos elementos não interessa, uma combinação de $A$ " $p$ a $p$ " é simplesmente uma escolha de $p$ elementos de $A$ , não interessando a ordem pela qual os elementos são escolhidos.

O número de combinações " $p$ a $p$ " de um conjunto com $n$ elementos ( $n \geq p$ ), é dado pela seguinte expressão:

$^nC_p=\frac{^nA_p}{p!}= \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Exemplo

Numa turma há $24$ alunos, dos quais $14$ são raparigas. O delegado e subdelegado são rapazes. Pretende-se formar uma comissão com cinco alunos para organizar uma festa na escola. Determina quantas comissões diferentes se podem formar se:

a) A comissão tiver de ser mista.

b) A comissão tiver de incluir pelo menos o delegado ou o subdelegado.

c) A comissão deve ser mista e deve incluir o delegado e o subdelegado.

Matemática A; Cálculo combinatório; 12º Ano; Combinações: Conceito e identificação

a) Para que a comissão seja mista, deve ter pelo menos um rapaz e uma rapariga. Assim existem quatro opções para a comissão ser mista:

Incluir uma rapariga e quatro rapazes ( ${}^{14}C_1 \times {}^{10}C_4$ ).
Incluir duas raparigas e três rapazes ( ${}^{14}C_2 \times {}^{10}C_3$ ).
Incluir três raparigas e dois rapazes ( ${}^{14}C_3 \times{} ^{10}C_2$ ).
Incluir quatro raparigas e um rapaz ( ${}^{14}C_4 \times {}^{10}C_1$ ).

Logo, resulta que há o seguinte número de opções:

${}^{14}C_1 \times{} ^{10}C_4+{}^{14}C_2 \times {}^{10}C_3+{}^{14}C_3 \times{} ^{10}C_2+{}^{14}C_4 \times{} ^{10}C_1= 40 \ 250$

b) Para que inclua pelo menos um dos dois, existem três hipóteses:

Só o delegado faz parte da comissão ( ${}^{22}C_4$ ).
Só o subdelegado faz parte da comissão ( ${}^{22}C_4$ ).
Ambos fazem parte da comissão ( ${}^{22}C_3$ ).

Assim, obténs que:

${}^{22}C_4+{}^{22}C_4+{}^{22}C_3=16 \ 170$

c) Como na comissão devem estar incluídos o delegado e o subdelegado, os lugares livres podem ser preenchidos das seguintes maneiras:

Há uma rapariga e dois rapazes ( ${}^{14}C_1 \times {}^{8}C_2$ ).
Há duas raparigas e um rapaz $({}^{14}C_2 \times{} ^{8}C_1)$ .
Há só raparigas, além do delegado e o subdelegado ( ${}^{14}C_3$ ).

Assim, o número de comissões é:

${}^{14}C_1 \times {}^{8}C_2+{}^{14}C_2 \times {}^{8}C_1+{}^{14}C_3=1 \ 484$