Variáveis

Uma variável é uma letra que pode assumir vários valores. Quando se substitui uma variável numa expressão por um valor, diz-se que se está a concretizar essa variável.

Exemplo

Considera a expressão $xyz+x^2z$ . Esta é uma expressão nas variáveis $x$ , $y$ e $z$ . Quando se substitui $x$ por $2$ , $y$ por $1$ e $z$ por $-1$ , obtemos o número $-6$ . $x$ tem de ser substituído por $2$ nas duas parcelas.

Nota: O domínio de uma variável é o conjunto de valores que essa variável pode tomar.

Condições

Uma condição é uma expressão que se transforma numa proposição quando se concretizam as suas variáveis.

Exemplo

A expressão $2x+3$ não é uma condição, mas a expressão " $x$ é uma cidade portuguesa" é, já que quando se substitui $x$ pelo nome de alguma cidade se obtém uma afirmação passível de ser verdadeira ou falsa.

Um elemento do domínio de uma variável é uma solução da condição se ao substituir a variável por esse valor a expressão se transforma numa proposição verdadeira.

Exemplo

"Porto" é solução da condição " $x$ é uma cidade portuguesa", mas "Paris" não é.

Quantificador existencial

Chama-se quantificador existencial ao símbolo $\exists$ (que se lê "existe " ou "existe pelo menos um").

Exemplo

$\exist n \in \mathbb{N}: n$ é par (Existe pelo menos um número natural que é par).

Nota: O quantificador existencial utiliza-se com o sinal " $:$ ".

Dada uma condição num determinado domínio, a utilização do quantificador existencial transforma-a numa proposição que é verdadeira se a condição tem solução nesse conjunto e falsa se a condição é impossível neste conjunto.

Exemplo

A proposição $\exist x \in \mathbb{R}: x+2=x^2$ é verdadeira, pois a condição $x+2=x^2$ tem solução em $\mathbb{R}$ (por exemplo, o elemento $x=2$ ).

Condições possíveis e condições impossíveis

Uma condição $p(x)$ diz-se possível num conjunto $A$ se tiver solução nesse conjunto. Nesse caso (e só nesse caso), a proposição $\exist x \in A: p(x)$ é verdadeira. Caso contrário, a condição diz-se impossível.

Exemplo

A condição $x^2=-2$ é impossível em $\mathbb{R}$ , já que o quadrado de qualquer número real é um número não negativo, logo em particular qualquer número real tem quadrado diferente de $-2$ .

Quantificador universal

Chama-se quantificador universal ao símbolo $\forall$ (que se lê "para todo" ou "qualquer que seja").

Exemplo

$\forall x \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{Z}$ (Qualquer que seja o número natural $x$ , $x$ é um número inteiro).

Também se pode ler, de maneira mais simples, "Todo o número natural é inteiro.".

Nota: O quantificador universal utiliza-se com o sinal ",".

Dada uma condição num determinado domínio, a utilização do quantificador universal transforma-a numa proposição que é verdadeira se todos os elementos do domínio são solução da equação e falsa se pelo menos um dos elementos do domínio não é solução.

Exemplo

A proposição $\forall x \in \mathbb{N}, x$ é par é falsa, pois existem números naturais que não são pares.

Condições universais

Uma condição $p(x)$ diz-se universal num conjunto $A$ se todos os elementos desse conjunto forem solução da condição. Nesse caso (e só nesse caso), a proposição $\forall x \in A, p(x)$ é verdadeira. Caso contrário, a condição diz-se não universal.

Exemplo

A condição $x^2 >-1$ é universal em $\mathbb{R}$ , pois qualquer número real tem quadrado maior ou igual a $0$ , logo em particular o quadrado de um número real qualquer é maior do que $-1$ .

Segundas leis de De Morgan

Negação do quantificador universal: $\sim [\forall x, p(x)] \Leftrightarrow \exist x: \sim p(x)$

Negação do quantificador existencial: $\sim [\exist x: p(x)] \Leftrightarrow \forall x, \sim p(x)$ 

Exemplo

Negar que todas as canetas de um conjunto são vermelhas é o mesmo que dizer que pelo menos uma delas não é vermelha.

Negar que pelo menos uma das canetas do conjunto é vermelha é o mesmo que dizer que nenhuma caneta é vermelha, ou seja, todas são não vermelhas.

Contraexemplo

Um contraexemplo é uma concretização de uma variável que não satisfaz uma dada condição $p(x)$ . Serve para mostrar que a proposição $\forall x, p(x)$ é falsa.

Exemplo

Considera a proposição $\forall n \in \mathbb{N}, n$ primo $\implies n$ ímpar. Esta afirmação é falsa porque $n=2$ é um número primo mas não é ímpar. O número natural $n=2$ mostra então que a condição não é sempre satisfeita, funcionando como um contraexemplo.