Explicação

Dadas proposições $p$ , $q$ e $r$ , uma proposição verdadeira $v$ e uma proposição falsa $f$ , podem ser descritas as seguintes propriedades:

Propriedade	Expressão
Lei da dupla negação	$\mathord\sim(\mathord\sim p)\Leftrightarrow p$
Idempotência da conjunção e da disjunção	$p \wedge p \Leftrightarrow p\\p \lor p \Leftrightarrow p$
Comutatividade da conjunção e da disjunção	$(p\land q)\Leftrightarrow(q\land p)\\(p\lor q)\Leftrightarrow(q\lor p)$
Associatividade da conjunção e da disjunção	${[(p\land q) \land r] \Leftrightarrow [p\land (q \land r)]}\\{[(p\lor q) \lor r] \Leftrightarrow [p\lor (q \lor r)] }$
Conjunção de uma proposição verdadeira com outra proposição	$v \land p \Leftrightarrow p$
Conjunção de uma proposição falsa com outra proposição	$f \land p \Leftrightarrow f$
Disjunção de uma proposição verdadeira com outra proposição	$v \lor p \Leftrightarrow v$
Disjunção de uma proposição falsa com outra proposição	$f \lor p \Leftrightarrow p$
Propriedades distributivas	${[p \land (q \lor r)] \Leftrightarrow [(p \land q) \lor (p \land r)] }\\{[p \lor (q \land r)] \Leftrightarrow [(p \lor q) \land (p \lor r)]}$
Tradução simbólica do princípio da não contradição	${(p \land \mathord\sim p) \Leftrightarrow f}$
Princípio do terceiro excluído	$(p \lor \mathord\sim p) \Leftrightarrow v$

Exemplo

Aplicando as propriedades acima apresentadas, prova que a expressão $[(\mathord\sim p \land q)\lor (\mathord\sim p \land \mathord\sim q)] \land (\mathord\sim q \land p)$ é falsa, indicando as propriedades utilizadas em cada passo.

$\begin{aligned}&[(\mathord\sim p \land q)\lor (\mathord\sim p \land \mathord\sim q)] \land (\mathord\sim q \land p) \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Distributividade}}\\\Leftrightarrow\,\,& [\mathord\sim p \land (q\lor \mathord\sim q) ] \land (\mathord\sim q \land p) \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Princípio do terceiro excluído}}\\\Leftrightarrow\,\,& (\mathord\sim p \land v) \land (\mathord\sim q \land p) \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Conjunção de um proposição verdadeira com outra proposição}}\\\Leftrightarrow\,\,& \mathord\sim p \land (\mathord\sim q \land p) \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Comutatividade}}\\\Leftrightarrow\,\,& \mathord\sim p \land (p \land \mathord\sim q) \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Associatividade}}\\\Leftrightarrow\,\,& (\mathord\sim p \land p) \land \mathord\sim q \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Princípio da não contradição}}\\\Leftrightarrow\,\,& f \land \mathord\sim q \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Conjunção de um proposição falsa com outra proposição}}\\\Leftrightarrow\,\,&f\end{aligned}$

Se a expressão inicial é equivalente a uma proposição falsa, então é falsa.