Equivalência, negação, conjunção e disjunção de proposições

Explicação

Uma proposição pode ser elementar ou composta. As proposições compostas incluem várias proposições elementares, que se relacionam através de diversas operações. Consegues saber o valor lógico de uma proposição composta se souberes o valor lógico de todas proposições elementares que a constituem.

Equivalência

Dadas proposições $p$ e $q$ , a equivalência de $p$ e $q$ (ou, simbolicamente, $p \Leftrightarrow q$ ), é verdadeira se ambas as proposições tiverem o mesmo valor lógico, e falsa se tiverem valores lógicos diferentes.

A tabela de verdade da equivalência, que relaciona os valores lógicos de $p$ e $q$ com o valor lógico da proposição $p \Leftrightarrow q$ , é então:

$p$	$q$	$p \Leftrightarrow q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Habitualmente, quando se diz que duas proposições são equivalentes, assume-se que têm o mesmo valor lógico (casos em que $p \Leftrightarrow q$ tem valor lógico $V$ ). Também é frequente relacionar mais do que duas proposições desta forma.

Exemplo

Dadas as proposições " $1+1=3$ " e " $\text{Lisboa é um país}$ ", pode-se construir a proposição " $1+1=3 \Leftrightarrow \text{Lisboa é um país}$ ". Como ambas as proposições originais são falsas, então a equivalência entre elas é verdadeira. Se a segunda proposição fosse " $\text{Lisboa é uma cidade}$ ", que é uma proposição verdadeira, então a equivalência seria falsa.

Negação

Dada uma proposição $p$ , a negação de $p$ (ou, simbolicamente, $\mathord\sim{p}$ ), representa uma proposição com o valor lógico oposto da proposição $p$ . Esta proposição lê-se "não $p$ ".

A tabela de verdade da negação é:

$p$	$\mathord\sim p$
V	F
F	V

Exemplo

Dada a proposição " $\text{Lisboa é um país}$ ", que é falsa, a negação desta proposição é " $\text{Lisboa não é um país}$ ", que é verdadeira.

Conjunção

Dadas as proposições $p$ e $q$ , a conjunção de $p$ e $q$ , ou $p \land q$ , é verdadeira apenas se ambas as proposições forem verdadeiras. A conjunção lê-se " $p$ e $q$ ".

A tabela de verdade da conjunção é:

$p$	$q$	$p\land q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Exemplo

Dadas as proposições " $1+1=2$ " e " $\sqrt{4}=2$ ", então a proposição " $1+1=2 \land \sqrt{4}=2$ " é verdadeira. Se a primeira proposição fosse " $1+1=3$ ", então a conjunção seria falsa.

Disjunção

Dadas as proposições $p$ e $q$ , a disjunção de $p$ e $q$ , ou $p \lor q$ , é falsa apenas se ambas as proposições forem falsas. Lê-se " $p$ ou $q$ ".

A tabela de verdade da disjunção é:

$p$	$q$	$p\land q$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Exemplo

Dadas as proposições " $1+1=2$ " e " $\sqrt{4}=3$ ", então a proposição " $1+1=2 \lor \sqrt{4}=3$ " é verdadeira. Se a primeira proposição fosse " $1+1=3$ ", então a disjunção seria falsa.

Nota: Numa proposição composta por disjunções, conjunções e negações, não há prioridade entre as conjunções e disjunções, mas as negações têm prioridade. Então, a proposição $\mathord\sim p\lor q$ , deve ser entendida por $(\mathord\sim p)\lor q$ .