Propriedades da probabilidade e tabelas de dupla entrada

Explicação

No estudo de uma experiência aleatória, cujos acontecimentos elementares sejam equiprováveis, é possível aplicar uma série de propriedades, listadas na tabela.

Propriedade	Fundamentos teóricos
$0\leqslant{P(A)}\leqslant1$	A probabilidade é dada por $P(A)=\frac{\#A}{\#S}$ . Como $A\subseteq{S}, \#A\leq\#S$ . Logo, $0\leqslant\frac{\#A}{\#S}\leqslant1$ .
$P(A\cup{B})=P(A)+P(B)$ , se $A$ e $B$ forem disjuntos.	Se $A$ e $B$ são disjuntos, $\#(A\cup{B})=\#A+\#B$ Logo, $\begin{aligned}P(A\cup{B})&=\frac{\#(A\cup{B})}{\#S}\\&=\frac{\#A+\#B}{\#S}\\&=\frac{\#A}{\#S}+\frac{\#B}{\#S}\\&=P(A)+P(B)\end{aligned}$
$P(A)+P(B)=1$ , se $A$ e $B$ forem complementares.	Se $A$ e $B$ são complementares, $A\cup{B}=S$ e $A\cap{B}=\empty$ $P(A\cup{B})=P(A)+P(B)$ $P(A\cup{B})=P(S)=\frac{\#S}{\#S}=1$ Logo, $P(A)+P(B)=1$ . Ou seja, ${P(A)+P(\bar{A})=1}$ ou ${P(\bar{A})=1-P(A)}$

Exemplo

Num saco há bolas às riscas e bolas brancas. Sabendo que ao retirar uma bola do saco a probabilidade de sair uma bola branca é $\frac{2}{7}$ , qual é a probabilidade de sair uma bola às riscas?

No saco só há bolas brancas e bolas às riscas. Assim, começa por definir os dois acontecimentos possíveis:

$\text{A: "Sair uma bola branca"}.$

$\text{B: "Sair uma bola às riscas".}$

Em primeiro lugar, os acontecimentos elementares associados a esta experiência são equiprováveis. Isto é, cada bola tem a mesma probabilidade de sair.

Os acontecimentos $A$ e $B$ são complementares, logo $P(B)=1-P(A)=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}.$ Assim, a probabilidade de sair uma bola às riscas é $\frac{5}{7}$ .

Diagrama em árvore e tabela de dupla entrada

Os diagramas em árvore e as tabelas de dupla entrada são muito úteis em experiências compostas, isto é, em situações em que há mais do que uma variável aleatória em estudo. Podes usá-los para identificar todos os resultados do espaço amostral. A partir deles, fazes a contagem do número de casos possíveis e do número de casos favoráveis e aplicas a Regra de Laplace.

Exemplo

Considera que o José lançou duas vezes uma moeda ao ar.

Qual a probabilidade de ter saído duas vezes cara?

No caso da tabela de dupla entrada, deves representar na primeira coluna os acontecimentos associados ao primeiro lançamento, e na primeira linha os associados ao segundo lançamento:

	Cara	Coroa
Cara	Cara e Cara	Cara e Coroa
Coroa	Coroa e Cara	Coroa e Coroa

Número de casos possíveis: $4$ 

Número de casos favoráveis: $1$ 

Assim, $P(A)=\frac{1}{4}$ , ou seja, a probabilidade de sair duas vezes cara é $\frac{1}{4}$ .

Para este exemplo, também podias ter construído um diagrama em árvore. Para tal, começa por representar numa primeira coluna os resultados associados ao primeiro lançamento e na segunda os resultados associados ao segundo lançamento:

Matemática; Probabilidades; 9º Ano; Propriedades da probabilidade e tabelas de dupla entrada

Número de casos possíveis: $4$

Número de casos favoráveis: $1$ 

Assim, $P(A)=\frac{1}{4}$ e chegamos ao mesmo resultado (claro!)