Quadrado de um binómio: Resolução de problemas

Explicação

O quadrado de um binómio é um caso notável da multiplicação de polinómios que pode ser calculado rapidamente com uma fórmula especial. Repara que

$\begin{aligned}(x+y)^2 &=(x+y)(x+y)\\&=x^2+xy+yx+y^2\\&=x^2+xy+xy+y^2\\&=x^2+2xy+y^2\end{aligned}$

Obtemos assim a fórmula do quadrado de um binómio,

$\boxed{(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}$

Nota: O quadrado de um binómio é sempre um trinómio!

Exemplo

$(x+3)^2=x^2+6x+9$

Se existirem sinais negativos, basta ter em atenção que a diferença de dois números corresponde à soma do primeiro pelo simétrico do segundo.

Exemplos

$(x-1)^2=[x+(-1)]^2=x^2+2 \times x \times (-1) + (-1)^2= x^2-2x+1$

$(-x+2)^2= (2-x)^2=[2+(-x)]^2=2^2+2 \times 2 \times (-x) + (-x)^2= 4-4x+x^2=x^2-4x+4$

Nota: Repara que, independentemente dos sinais dos termos do binómio, os quadrados na expressão final são sempre positivos. O sinal do termo cruzado na expressão final é positivo quando os dois termos têm o mesmo sinal e negativo quando os dois termos têm sinais contrários.

Exemplo

$(-x-5)^2=x^2+10x+25$

Esta fórmula também permite escrever certos trinómios como o quadrado de algum binómio (isto é, fatorizar o trinómio).

Exemplo

$x^2-10x+25=(x-5)^2$