Explicação

Ao aproximar um número $x$ (afirmando que ele é, aproximadamente, $x'$ ), comete-se um erro, que será no máximo $r$ (o erro máximo). Assim, esta aproximação vai estar sempre no intervalo $]x-r,x+r[$ .

Exemplo

Numa aproximação do número $4$ com erro máximo de $0{,}5$ , o número aproximado que escolhermos poderá estar entre $4-0{,}5$ e $4+0{,}5$ . Ou seja, no intervalo, o número está no intervalo

$]4-0{,}5;4+0{,}5[\ =\ ]3{,}5;4{,}5[$

Em particular, se aproximarmos o número para $4{,}3$ , o erro é de $4{,}3-4=0{,}3$ .

O erro e as operações

É possível calcular o erro na aproximação da soma, produto e raiz de números se conhecermos as suas aproximações.

Adição

O erro máximo da soma de duas aproximações é a soma do erro máximo de cada uma delas.

Exemplo

Se a aproximação do número $a$ tem erro máximo $0,2$  e a aproximação de $b$ tem erro máximo $0,5$ , a aproximação de $a+b$ tem erro máximo de $0,2+0,5=\underline{0,7}$ .

Multiplicação

Para a multiplicação, o cálculo do erro máximo realiza-se caso a caso, através de uma inequação.

PROCEdimento

1.	Coloca cada um dos números enquadrados pelos seus limites.
2.	Multiplica os limites esquerdos e direitos desses números e enquadra o produto neles.
3.	Calcula a diferença entre os dois limites para saberes o erro.

Exemplo

Se a aproximação de um número for $3$ e foi feita com um erro inferior a $0{,}4$ , e a aproximação de outro número for $6$ foi feita com um erro inferior a $0{,}5$ , então qual o erro cometido ao considerar $3\times6=18$ como multiplicação desses dois números?

1.

$3-0{,}4<x<3+0{,}4 \Leftrightarrow 2{,}6<x<3{,}4$

$6-0{,}5<y<6+0{,}5 \Leftrightarrow 5{,}5 <y<6{,}5$

2. Assim:

$2{,}6\times5{,}5<xy<3{,}4\times6{,}5 \Leftrightarrow 14{,}3<xy<22{,}1$

3. Calculando a diferença dos dois limites, tem-se o erro: $r=22{,}1-14{,}3=7{,}8$ .

Raiz quadrada

Para descobrir a raiz quadrada do erro, é necessário seguir um conjunto de passos específico.

procedimento

1.	Calcula o inverso do erro $\left( \frac{1}{r} \right)$
2.	Eleva esse número ao quadrado e multiplica-o pelo que está no interior da raiz
3.	Enquadra a raiz do número que queres aproximar aos quadrados perfeitos anterior e posterior ao número calculado no passo 2.
4.	Calcula a diferença entre os dois limites para saberes o erro.

Exemplo

Enquadra $\sqrt{3}$ com erro inferior a $0,25$ .

1. $\frac{1}{0,25}= \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ 

2. $3\times4^2=3\times12=48$ 

3. O quadrado perfeito imediatamente abaixo de é e o imediatamente acima é $48$ $36$ $49$ . Assim:

$36<3\times4^2<49 \Leftrightarrow 6^2<3\times4^2<7^2 \Leftrightarrow (\frac{6}{4})^2<3<(\frac{7}{4})^2 \Leftrightarrow \frac{6}{4}<\sqrt{3}<\frac{7}{4}$

4. O erro é então de: $r=\frac{7}{4}-\frac{6}{4}=\frac{1}{4}$ 