Fórmula resolvente na resolução de equações do 2º grau

Explicação

Quando nos deparamos com uma equação de 2º grau (isto é, uma equação de formato $ax^2+bx+c=0$ ), podemos resolvê-la recorrendo à fórmula resolvente. Esta fórmula diz-nos que as soluções da equação são:

$x=\frac{-b\ \pm\ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Exemplo

A equação $x^2-7x+10=0$  (ou seja, em que $a=1$ , $b=-7$ e $c=10$ ) pode ser resolvida da seguinte forma:

$\begin{aligned}x&=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\times 1\times10}}{2\times1}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow x&=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}\\\Leftrightarrow x&=\frac{7\pm\sqrt{9}}{2}\\\Leftrightarrow x&=\frac{7+3}{2}\lor x=\frac{7-3}{2}\\\Leftrightarrow x&=5\lor x=2\end{aligned}$

Assim, as soluções da equação dada são $x=2$ e $x=5$ .

Determinar o número de soluções sem resolver a equação

A parte que se encontra dentro da raiz da fórmula resolvente, $\Delta =b^2-4ac$ , designa-se por binómio discriminante. Este valor permite saber o número de soluções que a equação tem, sem que a precises de resolver! Assim, se o binómio discriminante for:

Positivo ( $\Delta > 0$ ), então a equação tem duas soluções distintas;
Nulo ( $\Delta = 0$ ), então a equação tem uma única solução;
Negativo ( $\Delta < 0$ ), então a equação não tem soluções. Neste caso, dizemos que a equação é impossível.

Exemplo

Sem resolver a equação do exemplo anterior ( $x^2-7x+10=0$ ), podes saber quantas soluções ela tem aplicando o binómio discriminante:

$\Delta = (-7)^2-4\times1\times10=49-40=9$

Como o binómio discriminante deu $9$ (que é um número positivo), então a equação tem duas soluções (o que já comprovámos anteriormente ao resolver).