Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas: Resolução e classificação

Explicação

Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é composto por duas equações do tipo $ax+by=c$ . A sua solução será um ponto $(x,y)$ que, quando substituído, torna o resultado das duas equações verdadeiro.

Exemplo

O sistema $\begin {cases}y=x+1 \\y=-x+3 \\\end {cases}$ é um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. O ponto $(1,2)$ é a sua solução, porque, ao substituir $x$ por $1$ e $y$ por $2$ nas duas equações, obtém-se sempre igualdades verdadeiras:

$\begin {cases}2=1+1 \\2=-1+3 \\\end {cases}\Leftrightarrow \begin {cases}2=2 \ (V) \\2=2 \ (V) \\\end {cases}$

Interpretação geométrica

Cada uma das equações do sistema representa uma reta. Assim, o sistema procura o cruzamento das duas retas, sendo a sua solução o ponto de interseção entre elas.

Exemplo

A solução do sistema $\begin {cases}y=x+1 \\y=-x+3 \\\end {cases}$ é a interseção das retas $y=x+1$ e $y=-x+3$ . O ponto $(1,2)$ corresponde a esta interseção.

Matemática; Equações; 8º Ano; Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas: Resolução e classificação

Sistemas equivalentes

Sistemas equivalentes são sistemas com a mesma solução.

Exemplo

Os sistemas $\begin {cases}x+2y=4 \\x+3y=5 \\\end {cases}$ e $\begin {cases}2x+4y=8 \\3x+9y=15 \\\end {cases}$ são equivalentes, visto que ambos têm a mesma solução, que é o ponto $(2,1)$ .

$\begin {cases}x+2y=4 \\x+3y=5 \\\end {cases}\Leftrightarrow\begin {cases}2+2\times1=4 \\2+3\times1=5 \\\end {cases}\Leftrightarrow\begin {cases}4=4 \ (V) \\5=5 \ (V) \\\end {cases}$

$\begin {cases}2x+4y=8 \\3x+9y=15 \\\end {cases}\Leftrightarrow\begin {cases}2\times2+4\times1=8 \\3\times2+9\times1=15 \\\end {cases}\Leftrightarrow\begin {cases}8=8 \ (V) \\15=15\ (V) \\\end {cases}$