Razões trigonométricas de um ângulo agudo

Lados de um triângulo retângulo

Definição

Num triângulo retângulo com um ângulo agudo $\alpha$ , como o da imagem, os lados têm os seguintes nomes:

Matemática; Trigonometria; 9º Ano; Razões trigonométricas de um ângulo agudo

Letra	Nome	Descrição
$a$	Cateto adjacente a $\alpha$	Lado comum ao ângulo reto e ao ângulo $\alpha$
$b$	Cateto oposto a $\alpha$	Lado oposto ao ângulo $\alpha$
$c$	Hipotenusa	Lado oposto ao ângulo reto

Seno, cosseno e tangente

Definição

Num triângulo retângulo com um ângulo agudo $\alpha$ existem as seguintes razões trigonométricas:

Seno de $\alpha$	$\sin{\alpha}= \frac{\text{cateto oposto a }\alpha}{\text{hipotenusa}}$
Cosseno de $\alpha$	$\cos{\alpha}= \frac{\text{cateto adjacente a }\alpha}{\text{hipotenusa}}$
Tangente de $\alpha$	$\tan{\alpha}= \frac{\text{cateto oposto a }\alpha}{\text{cateto adjacente a }\alpha}$

Relativamente ao triângulo da imagem, tem-se que:

\sin{\alpha}=\frac{b}{c}

\cos{\alpha}=\frac{a}{c}

\tan{\alpha}=\frac{b}{a}

Nota 1: Por semelhança de triângulos, ângulos de amplitude igual terão as mesmas razões trigonométricas.

Nota 2: As razões inversas do seno, cosseno e tangente chamam-se arco seno ( $\arcsin$ ou $\sin^{-1}$ ), arco cosseno ( $\arccos$ ou $\cos^{-1}$ ) e arco tangente ( $\arctan$ ou $\tan^{-1}$ ). Estas dão-te a amplitude do ângulo, a partir do valor da razão trigonométrica em questão.

Relação entre as razões trigonométricas

Conhecem-se várias relações entre o seno, cosseno e tangente, que te podem ajudar a simplificar termos e a resolver equações.

Seno e cosseno de ângulos complementares	Relação entre tangente, seno e cosseno	Fórmula fundamental da trigonometria
$\sin{\alpha}=\cos{(90º - \alpha)}$ ou $\cos{\alpha}=\sin{(90º - \alpha)}$	$\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$	$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

Exemplo

Utilizando a figura acima, calcula o seno, cosseno e tangente do ângulo $\alpha$ , sabendo que $b=5$  e $c=10$ .

Como conheces os valores do cateto oposto ao ângulo ( $b$ ) e da hipotenusa ( $c$ ), podes começar por calcular o seno:

\sin{\alpha}=\frac{b}{c}=\frac{5}{10}=\boxed{\frac{1}{2}}

De seguida, podes calcular o valor do cosseno a partir da fórmula fundamental da trigonometria:

\begin{aligned}&\,\,\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^2+\cos^2\alpha=1 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow&\,\,\frac{1}{4} +\cos^2\alpha = 1\Leftrightarrow \cos^2\alpha=1-\frac{1}{4}\Leftrightarrow \cos^2\alpha =\frac{3}{4}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow&\,\,\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{aligned}

E por fim podes usar a relação entre a tangente, o seno e o cosseno para calcular a tangente de $\alpha$ :

\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1\times2}{2\times\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}

Razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Algumas razões trigonométricas têm valores exatos conhecidos que podes usar em cálculos, sem necessitar de calculadora. É o caso para os ângulos de $30º$ , $45º$ e $60º$ :

$\alpha$	$30º$	$45º$	$60º$
$\sin\alpha$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\tan\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Exemplo

Toma novamente o exemplo acima e calcula o ângulo $\alpha$ .

Sobre este ângulo, já sabes que:

$\sin\alpha=\frac{1}{2}$

$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Por observação da tabela, podes então concluir que $\underline{\alpha = 30º}$ .