Soma de um ponto com um vetor

A soma de um ponto $P$ a um vetor $\overrightarrow{AB}$ origina um ponto novo ponto $Q$ . Ou seja:

$Q=P+\overrightarrow{AB}$

O ponto $Q$ é, então, único e satisfaz a seguinte igualdade:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PQ}$

Exemplo

Qual é o resultado de $M+\overrightarrow{AO}$ ?

Matemática; Semelhanças e isometrias; 8º Ano; Vetores: translações

Como $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MN}$ , $M+\overrightarrow{AO}=M+\overrightarrow{MN}=N$ .

Translação

Uma translação é a deslocação de uma figura, ao longo de uma reta. Esta transformação geométrica não altera a forma nem o tamanho da figura, apenas a move.

A soma de um ponto com um vetor também se pode fazer recorrendo à translação de um ponto associada a um vetor:

$T_{\overrightarrow{u}}(P)=P+\overrightarrow{u}=P'$ ,

em que $P'$ é a imagem de $P$ .

Exemplo

Utilizando a imagem de cima, qual é o resultado de $T_{\overrightarrow{AO}}(R)$ ?

Como $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{RA}$ , $T_{\overrightarrow{AO}}(R)=T_{\overrightarrow{RA}}(R)=R+\overrightarrow{RA}=A$ .

Composição de translações

A composição de translações representa-se da seguinte forma:

$T_{\overrightarrow{v}} \ \circ \ T_{\overrightarrow{t}}=T_{\overrightarrow{w}}$ ,

Em que $T_{\overrightarrow{w}}$ é a composta da translação $T_{\overrightarrow{v}}$ após a translação $T_{\overrightarrow{t}}$ .

Nota: $T_{\overrightarrow{v}} \ \circ \ T_{\overrightarrow{t}}=T_{\overrightarrow{t}} \ \circ \ T_{\overrightarrow{v}}$ 

Exemplo

Matemática; Semelhanças e isometrias; 8º Ano; Vetores: translações

Esta figura representa $\bigg(T_{\overrightarrow{v}} \ \circ \ T_{\overrightarrow{u}}\bigg)(P)$ , ou seja $T_{\overrightarrow{u}}(P)$ e, de seguida, $T_{\overrightarrow{v}}(P')$ , que resulta em $P''$ .

Soma de dois vetores

A soma de um vetor $\overrightarrow{v}$ a um vetor $\overrightarrow{t}$ origina um vetor $\overrightarrow{w}$ , ou seja, $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{t}$ .

Para além disso, o vetor soma $\overrightarrow{w}$ é o vetor que define $T_{\overrightarrow{t}}\ \circ \ T_{\overrightarrow{v}}$

Existem $2$ formas de fazer esta operação:

Regra do triângulo

1. Têm-se os vetores $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{t}$

2. Considera-se um ponto $A$ e efetua-se $T_{\overrightarrow{v}}(A)=B$ e $T_{\overrightarrow{t}}(B)=C$

3. O vetor $\overrightarrow{AC}$ é o vetor soma de $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{t}$

Regra do paralelogramo

1. Têm-se os vetores $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{t}$

2. Consideram-se os segmento $[A,B]$ e $[A,D]$ como sendo os vetores $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{t}$ com origem em $A$

3. Completa-se o paralelogramo $[ABCD]$ e o vetor $\overrightarrow{AC}$ é o vetor soma de $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{t}$

Propriedades da adição de vetores

Existem algumas propriedades que podes aplicar na soma de vetores.

Propriedade comutativa	$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{t}=\overrightarrow{t}+\overrightarrow{v}$
Propriedade associativa	$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{t}+\overrightarrow{s}=(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{s})+\overrightarrow{t}=(\overrightarrow{t}+\overrightarrow{s})+\overrightarrow{v}$
Existência de elemento neutro	$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{v}$ O vetor nulo é o elemento neutro.
Existência de elemento simétrico	$\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0}$