Figuras semelhantes: perímetros e áreas

Relação entre perímetros

Os perímetros de dois polígonos semelhantes podem ser relacionados da seguinte forma:

$\text{Perímetro de [A'B'C']}=\text{Perímetro de [ABC]} \times k$

Por outro lado, se dividires o perímetro do triângulo $[A'B'C']$ pelo perímetro do triângulo original $[ABC]$ , tens que:

$\dfrac{\text{Perímetro do triângulo [A'B'C'] }}{\text{Perímetro do triângulo [ABC]}}=k$

Exemplo

Considera a seguinte imagem:

Matemática; Semelhanças e isometrias; 7º Ano; Figuras semelhantes: perímetros e áreas

Os dois triângulos são semelhantes, mas o triângulo $[A'B'C']$ foi multiplicado por uma constante $k= 2$ , tornando este triângulo maior que o original, $[ABC]$ .

Tens que $\overline{A'B'}$ é igual a $\overline{AB}$ se for multiplicado pela constante $2$ . Ou seja, se $\overline{AB}$ for igual a $4 \ cm$ , então $\overline{A'B'}$ será igual a $8 \ cm$ .

Então,

$\dfrac{\text{Perímetro do triângulo [A'B'C'] }}{\text{Perímetro do triângulo [ABC]}}=\dfrac{\overline{A'B'}+ \overline{B'C'}+\overline{C'A'}}{\overline{AB}+ \overline{BC}+\overline{CA}}=\dfrac{2\times \overline{AB}+ 2\times \overline{BC}+2\times \overline{CA}}{\overline{AB}+ \overline{BC}+\overline{CA}}=\dfrac{2\times (\overline{AB}+ \overline{BC}+\overline{CA})}{\overline{AB}+ \overline{BC}+\overline{CA}}=2$

Assim, se não souberes o valor de $k$ , podes calcular os perímetros dos triângulos e dividi-los um pelo outro. Considerando uma ampliação, divides o maior pelo menor.

Imagina que o perímetro do triângulo maior é $16$ e o perímetro do triângulo menor é $8$ , então $k$ seria:

$\dfrac{\text{Perímetro do triângulo A'B'C' }}{\text{Perímetro do triângulo ABC}}=\dfrac{16}{8}=2=k$

Relação entre áreas

Também é possível criar uma relação entre dois polígonos baseada na sua área $[ABC]$ , aplicando a seguinte fórmula:

$\mathrm{área}_{[A'B'C']}=\mathrm{área}_{[ABC]} \times k^2$

Ou ainda,

$k^2=\dfrac{\mathrm{área}_{[A'B'C']}}{\mathrm{área}_{[ABC]}}$

Exemplo

Considera a seguinte imagem:

Matemática; Semelhanças e isometrias; 7º Ano; Figuras semelhantes: perímetros e áreas

Tens dois polígonos semelhantes. Para descobrires a área do polígono $[A'B'C']$ tens as seguintes informações:

A área do polígono $[ABC]$ é igual a $5$ .
$k$ é igual a $1{,}2$

Por isso a área do polígono $[A'B'C']$ é calculada da seguinte forma:

$\text{Área de [A'B'C']}= \text{Área de [ABC]} \times 1{,}2^2=5 \times 1{,}2^2=7{,}2 \ cm^2$

Por outro lado, caso não saibas o valor de $k$ , mas saibas as áreas dos dois polígonos ( $área_{[ABC]}=5$ e $área_{[A'B'C']}=10$ ), consegues descobrir o valor de $k$ assim:

$\dfrac{área_{[A'B'C']}}{área_{[ABC]}}=\dfrac{10}{5}=2=k^2$

Então,

$k= \sqrt{2}\approx1{,}4$ 

Razão entre perímetros e áreas de círculos

Quaisquer que sejam os dois círculos que escolhas, eles serão sempre semelhantes. Por isso, o valor $k$ que transforma um círculo num outro círculo é sempre igual a:

$k= \dfrac{r'}{r}$

onde $r'$ e $r$ são os raios das circunferências.

Assim, a razão que relaciona os perímetros dos círculos será dada por $k$ e a razão que relaciona as suas áreas será dada por $k^2$ .

Exemplo

Considera dois círculos, um de raio $10$ e outro de raio $5$ . Sabendo que o segundo se obteve do primeiro através de uma redução, indica a razão de semelhança entre as figuras.

Matemática; Semelhanças e isometrias; 7º Ano; Figuras semelhantes: perímetros e áreas

Matemática; Semelhanças e isometrias; 7º Ano; Figuras semelhantes: perímetros e áreas

A razão que transforma o círculo de raio $10$  no círculo de raio $5$  é dada por:

$k=\dfrac{5}{10}=0{,}5$