Homotetias: Conceito e propriedades

Definição

Chama-se homotetia ao processo de transformar uma figura original numa figura semelhante, a que chamamos imagem. Nesta transformação, a imagem não tem de ter necessariamente as dimensões da figura original.

Exemplo

Imagina um foco de luz que, à sua frente tem um vidro com um triângulo de papel colado e, a seguir a este, uma parede branca. Quando o foco de luz se acender, a luz irá passar pelo vidro e a figura do triângulo irá ficar copiada na parede, mas em dimensões maiores. O triângulo projetado na parede e o triângulo de papel são homotéticos.

Matemática; Semelhanças e isometrias; 7º Ano; Homotetias: Conceito e propriedades

Centro e razão de uma homotetia

Uma homotetia tem de um centro (normalmente designado de $O$ ), e uma razão (normalmente designada por $r$ ). O módulo da razão define a proporção entre as duas figuras homotéticas: numa homotetia de razão com módulo $|r|=2$ , a imagem terá o dobro da dimensão da figura original.

Exemplo

Matemática; Semelhanças e isometrias; 7º Ano; Homotetias: Conceito e propriedades

Nesta homotetia, os comprimentos das suas figuras estão relacionadas da seguinte maneira:

$\overline{OA'}=2\overline{OA}$

$\overline{OB'}=2\overline{OB}$

$\overline{OC'}=2\overline{OC}$

A razão é então:

$|r|=\dfrac{\overline {A'B'}}{\overline {AB}}=\dfrac{\overline {A'C'}}{\overline {AC}}=\dfrac{\overline {B'C'}}{\overline {BC}}=2$

Nota: numa homotetia, o centro, o ponto da figura original e a transformação desse ponto na figura semelhante são colineares, isto é, pertencem à mesma reta.

Homotetia direta e homotetia inversa

É usual atribuir um sinal à razão $r$ de uma homotetia:

$r>0$ , quando o centro da homotetia é exterior aos segmentos de reta que unem os pontos homólogos.
$r<0$ , quando o centro da homotetia é interior aos segmentos de reta que unem os pontos homólogos.

Quando uma homotetia tem razão positiva chama-se de homotetia direta. Quando tem razão negativa, trata-se de uma homotetia inversa.

Exemplo

Matemática; Semelhanças e isometrias; 7º Ano; Homotetias: Conceito e propriedades

A homotetia representada no exemplo acima tem centro no ponto $O$ e $r=-2$ . Assim, a imagem projetada tem o dobro da figura original e, como é negativa, o centro $O$ pertence ao segmento de reta $[D'D]$ .

Propriedades das homotetias

A transformação de um segmento de reta será sempre paralela ao segmento de reta original. Caso a razão seja positiva, terá a mesma orientação que o segmento de reta original, e, se a razão for negativa, terá a orientação contrária.
A razão entre o comprimento de um segmento de reta transformado e o comprimento do segmento de reta original é igual ao valor absoluto da razão da homotetia.
A imagem transformada de uma reta é paralela a esta, caso o centro não lhe pertença. Caso o centro lhe pertença, será a própria reta.
A imagem transformada de um ângulo orientado terá o mesmo ângulo e o mesmo sentido que o original.