Método axiomático e geometria euclidiana

Definição

O método axiomático é uma maneira de, a partir de alguns enunciados que assumimos como verdadeiros (os "axiomas"), formar um conjunto de proposições, ou sistemas. A partir dos axiomas, as proposições são deduzidas usando regras lógicas.

A Matemática utiliza bastante o método axiomático, enquanto para as ciências experimentais, tais como a Física, a Química e a Biologia, este método perde importância.

Geometria euclidiana

Todos os problemas de geometria que tens vindo a resolver são problemas de geometria euclidiana. Este sistema de geometria tem determinados axiomas que outros sistemas de geometria (tais como a geometria esférica) não usa. A geometria euclidiana tem cinco axiomas/postulados. Quatro destes parecerão óbvios, mas o quinto foi debatido durante mais de $16$ séculos!

1.	Uma linha pode ser desenhada através de quaisquer dois pontos.
2.	Uma linha pode ser prolongada, infinitamente, em ambos sentidos.
3.	Uma circunferência pode ser desenhada a partir de um ponto de centro e um raio.
4.	Todos os ângulos de 90º são congruentes.
5.	Se duas linhas $a$ e $b$ intersetam uma terceira $c$ e os ângulos internos que com ela fazem (do mesmo lado da secante, $c$ ) somados são menores que $180º$ , as duas linhas intersetar-se-ão no infinito

Exemplo:

Considera a imagem seguinte, com $\alpha=70º$ e $\beta=85º$ . Vais provar pelo 5º postulado de Euclides que as retas $a$  e $b$ não são paralelas.

Matemática; Figuras e lugares geométricos; 9º Ano; Método axiomático e geometria euclidiana

Como diz o postulado, tens de ver qual é a soma dos ângulos internos que $a$ e $b$  fazem com a reta secante $s$ .

O ângulo interno que $a$ faz com $s$ tem a mesma amplitude que $\alpha$ , e o ângulo interno que $b$ faz com $s$ é o suplementar de $\beta$ e tem, por isso, amplitude $180º-\beta=180º-85º=95º$ .

Somando então os ângulos interiores, obténs:

$70\degree + 95\degree = 165\degree < 180\degree$

Como a soma é menor que $180\degree$ , as retas intersetar-se-ão se prolongadas o suficiente, o que quer dizer que não são paralelas!

Axioma euclidiano de paralelismo

Posidónio (séculos II a I, a.C.) rescreveu axioma 5 de forma mais simples: "Por um ponto $P$ , fora de uma reta $r$ , passa uma única reta paralela a $r$ ."

Foi nesta forma que o 5º axioma ficou conhecido como o axioma euclidiano do paralelismo.