Definição

A raiz quadrada de um número $a$ é o número positivo $b$ tal que $b^2=a$ . Para este número, usamos a notação $b=\sqrt{a}$ .

Exemplo

$\sqrt{9}=3$ , dado que $3^2=9$

$\sqrt{81}=9$ , dado que $9^2=81$ 

Nota 1: Apesar de $(-3)^2=9$ , não dizemos que $-3$ é raiz quadrada de $9$ , visto que uma raiz quadrada tem sempre de ser um número positivo.

Nota 2: Como o quadrado de um número é sempre não negativo, não faz sentido calcular a raiz quadrada de um número negativo.

Nem todos os números têm raízes que sejam números inteiros. Por vezes, o resultado da raiz trata-se de um número decimal, que pode ser uma dízima infinita.

Exemplo

$\sqrt3=1{,}7320...$

$\sqrt5=2{,}2360...$

Nota: Dá-se o nome de quadrado perfeito a um número que seja o quadrado de um número inteiro não negativo. É o caso dos números $1$ , $9$ e $81$ .

Relação entre raiz quadrada e o quadrado de um número

O quadrado da raiz quadrada é sempre o número que está debaixo do sinal de ${\sqrt{\phantom{2}}.}$

Exemplo

$(\sqrt9)^2=3^2=9$

$\left(\sqrt{\dfrac{1}{4}}\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$

Quando $a$ é positivo, $\sqrt{a^2}=a$ , e, por isso, neste caso, a raiz quadrada é a operação inversa de elevar algo ao quadrado.

Exemplo

$(-4)^2=4^2=16$ e $\sqrt16=4$

$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2=\left(\dfrac{2}{5}\right)^2=\dfrac{4}{25}$ e $\sqrt{\dfrac{4}{25}}=\dfrac{2}{5}$

Adição e subtração

Para somar/subtrair raízes, temos primeiro de calcular a raiz para mais tarde somar/subtrair.

Exemplos:

$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ , não é o mesmo que $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$

$\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$ não é o mesmo que $\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1$ 

Multiplicação e divisão

Para multiplicarmos/dividirmos raízes, podemos separar os números por raízes independentes ou multiplicá-los/dividi-los na própria raiz.

Exemplo

$10=\sqrt{100}=\sqrt{4\times25}=\sqrt4\times\sqrt25=2\times5=10$

$3=\sqrt9=\sqrt{\dfrac{81}{9}}=\dfrac{\sqrt81}{\sqrt9}=\dfrac{9}{3}=3$