Representação de potências de base 10 e notação científica

Explicação

Por vezes é necessário lidar com números muito grandes (como, por exemplo, a distância em quilómetros entre os planetas do Sistema Solar) ou números muito pequenos (o raio de um átomo, em metros). A decomposição de um número em notação científica torna a sua leitura mais fácil e permite cálculos mais expedidos.

Potências de base 10

Já conheces os nomes dados às potências de base 10 de expoentes não negativos: por exemplo, o milhão ( $10^6$ ), ou o bilião ( $10^{12}$ ).

Para escrever potências de exponente negativo de grandezas com unidades de medida, utilizamos certos prefixos antes da unidade de medida.

Mili- representa-se por $m$ . Corresponde a $0{,}001$ , que na forma de potência é $10^{-3}$ ;
Micro- representa-se por $\mu$ . Corresponde a $0{,}000\ 001$ , que na forma de potência é $10^{-6}$ ;
Nano- representa-se por $n$ . Corresponde a $0{,}000 \ 000 \ 001$ , que na forma de potência é $10^{-9}$ ;
Pico- representa-se por $p$ . Corresponde a $0{,} 000 \ 000 \ 000 \ 001$ , que na forma de potência é $10^{-12}$ .

Exemplo

Dizemos que $10^{-6}$ metros é um micrómetro, ou seja, $10^{-6}\ \mathrm{m}=1 \ \mu \mathrm{m}$ .

Notação científica

Se $a$ é um número positivo, diz-se que $a$ está escrito em notação científica se

$a=m\times 10^{b}$

onde $m$ é um número inteiro ou decimal com $1\leq m < 10$ , e $b$ é um número inteiro. Diz-se que $m$ é a mantissa do número, e $b$ é o expoente.

O expoente $b$ informa-nos sobre a ordem de grandeza do número.

Exemplo

Considera a distância média entre Marte e Júpiter: $550 390 000 \ km$ . Repara que podemos representar este número recorrendo a potências de base $10$ :

$550\ 390 \ 000 = 5\times 10^{8}+5\times 10^7+3\times 10^5+9\times 10^4$

Esta forma de escrever o número 550 390 000 diz-se decomposição decimal. Podemos escrevê-lo em notação científica utilizando os fatores que multiplicam pelas potências de base $10$ . De facto,

$550\ 390\ 000 = 5,5039\times 10^8$

Dizemos que a distância média entre Marte e Júpiter (em $km$ ) é da ordem de grandeza das centenas de milhões de quilómetros.

Dica: Podes saber o expoente da potência de base $10$ utilizando a seguinte técnica: contas o número de casas decimais de deslocação da vírgula. No caso do exemplo acima, a vírgula desloca-se $8$ casas decimais para a esquerda. No caso de números pequenos, a vírgula desloca-se para a direita (experimenta!).

Operações

Se $m\times 10^b$ e $n\times 10^c$ são dois números em notação científica, nota que os podemos reduzir ao mesmo exponente: por exemplo, ${n\times 10^c=n\times 10^{c+b-b}=(n\times 10^{c-b})\times 10^b}$ .

As regras da potenciação tornam os cálculos com números em notação científica mais simples.

Adição: $(m\times 10^b)+(n\times 10^c)=(m+n\times10^{c-b} )\times 10^b$
Subtração: $(m\times 10^b)-(n\times 10^c)=(m-n\times 10^{c-b})\times 10^b$
Multiplicação: $(m\times 10^b)\times (n\times 10^c)=(m\times n)\times 10^{b+c}$
Divisão: $(m\times 10^b):(n\times 10^c)=(m:n)\times10^{b-c}$

Nota: Repara que os números na coluna da direita podem não estar escritos em notação científica porque não temos garantia que a mantissa seja um número decimal maior ou igual a $1$ e menor que $10$ .

Exemplo

Um satélite diz-se orbitar na órbita baixa da Terra se se encontrar a menos de $2\ 000\ \mathrm{km}$ de altitude. Se um foguetão levantar da superfície a uma velocidade média de $2,81\times 10^4\ \mathrm{km/h}$ , quantos segundos é que demora a atingir $2\ 000\ \mathrm{km}$ de altitude?

Podes calcular o intervalo de tempo, em horas, da seguinte forma:

$\Delta t=\dfrac{2\times 10^3\ \mathrm{km}}{2,81\times 10^4\ \mathrm{km/h}}=\dfrac{2\times 10^3\ \mathrm{km}}{28,1\times 10^3\ \mathrm{km/h}}=\dfrac{2}{28,1}\ \mathrm{h}\approx 0,07117\ \mathrm{h}$

Agora, convertendo para segundos,

$\Delta t \approx 0,07117\ \mathrm{h}=0,07117\times 60 \times 60\ \mathrm{s}\approx 256\ \mathrm{s}$

Concluímos que o foguetão demora aproximadamente $256\ \mathrm{s}$  a atingir $2\ 000\ \mathrm{km}$ de altitude.