Interferenza e sovrapposizione degli stati quantistici

Interferenza

Esperimenti con particelle e onde

In questo esperimento andremo a studiare una delle conseguenze delle scoperte della meccanica quantistica: la doppia natura (corpuscolare e ondulatoria) della luce.

Foriamo una parete in due punti e piazziamo uno schermo ricettivo oltre la parete. Utilizziamo ora due tipi di sorgenti diverse che puntano alle fenditure:

per prima usiamo una sorgente di particelle classiche, la quale ci farà ottenere una figura composta da due zone: queste zone si ottengono congiungendo lo schermo con la sorgente e passando per le fenditure. In pratica le uniche particelle che arriveranno sullo schermo sono quelle che passano in linea retta per le fenditure e si può vedere il loro impatto sullo schermo;
per seconda usiamo una sorgente di onde ed otteniamo l'immagine in figura.

Fisica; La meccanica quantistica; 5a superiore; Interferenza e sovrapposizione degli stati quantistici

Quella ottenuta al punto $4$ è chiamata figura di interferenza ed è tipica dei fenomeni ondulatori classici. Questa immagine è un'immagine continua (ovvero non ci sono solo i tre "massimi" in figura, ma viene riempito tutto lo schermo), perché l'onda riempie lo spazio con continuità e non è un fenomeno discreto, come il fascio di particelle.

Esperimenti con gli elettroni

Sappiamo che gli elettroni seguono le leggi della meccanica quantistica e non quelle della fisica classica, quindi ripetiamo lo stesso esperimento di prima con una sorgente di elettroni.

Fisica; La meccanica quantistica; 5a superiore; Interferenza e sovrapposizione degli stati quantistici

L'immagine ottenuta in questo caso non è continua, come nel caso delle onde, ma nemmeno discreta, come nel caso delle particelle classiche. Si possono notare i vari punti di impatto sullo schermo, come nel caso delle particelle, ma la distribuzione è molto diversa: non sono presenti solo due zone di particelle corrispondenti alle fenditure. Viene quindi formata una nuova figura di interferenza degli elettroni. Possiamo misurare la lunghezza d'onda dell'elettrone $\lambda$ , sapendo la sua massa $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\,kg$ e la sua velocità $v$ : $\lambda = h/(m\cdot v)$ .

$h$ sarà sempre la costante di Planck.

Questo, ed altri esperimenti, ci permettono di dire che l'elettrone si comporta sia come una particella (i punti di impatto come le particelle) che come un'onda (la figura di interferenza formata). Possiamo dire che a livello microscopico, ovvero delle particelle e dei fenomeni fondamentali, la natura è quantistica.

Sovrapposizione degli stati quantistici

Principio di sovrapposizione degli stati

Sappiamo quindi che lo spin di un elettrone, lungo un asse, può essere $\pm 1/2$ . Poniamo lo spin lungo l'asse $y$ , $s_y = +1/2$ , allora lo spin lungo l'asse $x$ non è ben definito, ma può avere uno dei due valori visti in precedenza. Questo si può scrivere in due modi equivalenti, secondo la meccanica quantistica. Queste due formulazioni vennero introdotte da un altra figura importante della meccanica quantistica, ovvero Paul Dirac, e sono così:

lo spin dell'elettrone lungo l'asse $y$ è ben definito e si indica così: $|s_y = +1/2>$
oppure si può dire che l'elettrone si trova in una sovrapposizione di stati della proiezione dello spin lungo l'asse $x$ . Questo si indica così: $a|s_x=+1/2>+b|s_x = -1/2>$ . $a$ e $b$ sono due coefficienti che dipendono dallo stato in esame.

Il principio di sovrapposizione degli stati (anche chiamato "primo postulato della meccanica quantistica") ci dice che due o più stati quantistici possono essere sommati per ottenere un nuovo stato quantistico, e che ogni stato quantistico può essere scritto come la somma di due altri stati.

Chiamiamo quindi $|1>$ e $|2>$ due stati quantistici di un sistema fisico, questo sistema fisico, prima della misura, si troverà in uno stato quantistico dato dalla somma dei due stati: $c_1|1>+c_2|2>$ , dove $c_1,\,c_2$ sono due coefficienti e vale la seguente proprietà $|c_1|^2+|c_2|^2 =1$ .

Dopo la misura, il sistema assumerà solo uno stato $|1>$ o $|2>$ , e tutte le misure compiute successivamente porteranno come risultato lo stesso stato. Questo fenomeno viene anche chiamato collasso della sovrapposizione degli stati quantistici.

Problema della misura

Il principio di sovrapposizione degli stati ci pone di fronte al problema della misura, il quale fa parte dei problemi di interpretazione della meccanica quantistica.

Per determinare lo stato in cui un sistema "collasserà", la meccanica quantistica ci dice che l'evoluzione dei tempi dei sistemi quantistici sono legati da una formula matematica, chiamata equazione di Schrödinger. La conseguenza di questa equazione è che non prevede alcun tipo di "collasso" della sovrapposizione degli stati quantistici.

Negli anni subito successivi alla pubblicazione dell'equazione di Schrödinger gli scienziati trovarono una regola provvisoria per aggirare i suoi risultati: la misura "obbliga" il sistema a scegliere uno stato quantistico, quindi il sistema passa in maniera discontinua ad un solo stato. Il problema non era certo risolto ed infatti fu proprio Schrödinger a proporre un celebre esempio dove veniva discussa questa questione: il cosiddetto "gatto di Schrödinger".

L'esempio ci dice che un gatto è posto in una scatola insieme ad una macchina mortale formata da una fialetta di sostanza radioattiva che se decade fa scattare un martelletto, il quale rompe la fiala ed uccide il gatto. La "regola del collasso" della meccanica quantistica ci dice che, finché non apriamo la scatola, il sistema si trova in una sovrapposizione di stati. Infatti avremo questa sovrapposizione:

$|1,gatto\;vivo>+|2,gatto\;morto>$

Il gatto può essere considerato sia vivo che morto fino a che non apriamo la scatola ed otteniamo la misura.

Il risultato di questo esperimento mentale ci dimostra come la sovrapposizione degli stati è una realtà, ma anche che non siamo ancora riusciti ad arrivare ad una teoria del tutto soddisfacente per trattarli.