Moto armonico e pendolo semplice

Moto armonico

Si immagina un punto che si muove di moto circolare uniforme. La proiezione di quel punto, lungo il suo diametro, rappresenta un moto armonico.

Il moto armonico ha alcune caratteristiche riferite all'oscillazione:

Centro	è il centro della circonferenza
Ampiezza	è il raggio della circonferenza
Periodo	è uguale a quello del moto circolare uniforme

Legge oraria del moto armonico

Nel dettaglio si può determinare la posizione nel tempo della proiezione

Q

di un punto

P

che si muove di moto circolare uniforme, come nell'immagine a destra.

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Per arrivare alla legge oraria del moto armonico si procede nel seguente modo, considerando il triangolo rettangolo $POQ$ .

Per i teoremi sui triangoli rettangoli si ha:

$cat. \ adiacente = i \cdot cos(ang. \ adiacente) \rarr \overline{OQ}=\overline{OP}\cdot cos\alpha \rarr s=r\cdot cos\alpha$

Si assume il moto del punto $P$ come circolare uniforme.

Si può assumere la seguente proporzione: il rapporto tra l'angolo generico $\alpha$ e un'intera oscillazione $2\pi$ è uguale al rapporto che c'è tra il generico tempo $t$ ed il tempo per compiere un'oscillazione completa, definito periodo $T$ .

In formule: $\alpha:2\pi=t:T$

Ricavando l'angolo generico si ottiene $\alpha=\dfrac {2\pi\cdot t}{T} \rarr \alpha=\omega\cdot t$ dove la grandezza $\omega$ , che è la velocità angolare del moto circolare uniforme, si chiama pulsazione nel moto armonico e si misura sempre in $rad/s$ .

Sostituendo l'espressione appena ricavata in quella della posizione si ha la legge oraria del moto armonico $s=r\cdot cos\alpha=r\cdot cos(\omega\cdot t)$ .

Ci permettere di ricavare la posizione del punto $Q$ in un generico istante di tempo $t$ .

Sapendo che $A$ , l'ampiezza massima dell'oscillazione, si indica in metri ed è pari al raggio della circonferenza descritta dal moto circolare uniforme la legge oraria diventa:

$s=A\cdot cos(\omega\cdot t)$

Esempio

Un punto $P$ ha una velocità angolare di $2 \ rad/s$ e si muove su una circonferenza di raggio $5 \ cm$ . Qual è la posizione dopo $t=20 \ s$ ?

Utilizzando la legge oraria sia ha $s=A\cdot cos(\omega\cdot t) \rarr s=5cm\cdot cos(2rad/s\cdot 20s)=3,83\ cm$ 

Il grafico spazio-tempo del moto armonico

La rappresentazione grafica della posizione di un punto che si muove di moto armonico è data dal grafico della cosinusoide.

L'accelerazione nel moto armonico è direttamente proporzionale al quadrato della velocità angolare ed alla posizione. E' una grandezza che varia nel tempo e che è massima agli estremi.

In formule: $a=-\omega^2s$

Oscillatore armonico

Può essere definito come un corpo di massa $m \ (kg)$ collegato a una molla di costante elastica $k \ (N/m)$ .

Le formule che regolano questo aspetto sono:

$\omega=\sqrt{\cfrac{k}{m}}$
$T=2\pi\sqrt{\cfrac{m}{k}}=\cfrac{2\pi}{\omega}$
$\nu=\cfrac{1}{2\pi}\sqrt{\cfrac{k}{m}}$
$a=-\cfrac{k}{m}x=-\omega^2x$

Nota bene: anche nell'oscillatore armonico posizione, velocità e accelerazione dipendono dal tempo. La formula presentata si riferisce agli estremi del moto, dove l'accelerazione è massima.

Esempio

Un oscillatore armonico ha una massa $5\ kg$ appesa a una molla con una costante elastica $45\ N/m$ . La molla si muove comprimendola $2,0\ cm$ dalla sua posizione di riposo e inizia a oscillare.
Si vuole stabilire la funzione del moto armonico in funzione del tempo

Dati	Risoluzione
$m=5\ kg$ $k=45\ N/m$	$\omega=\sqrt{\cfrac{45\ N/m}{5\ kg}}=3\ rad^{-1}$ $x=0,02\text{sen}(3t+\pi/2)$
$A=0,02\ m$

Pendolo semplice

Il pendolo semplice viene studiato come un moto armonico semplice quando un corpo di massa $m$ tenuto da una corda inestensibile di lunghezza $L$ oscilla liberamente con un angolo inferiore a $11º$ .

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Periodo di oscillazione di un pendolo semplice

Si dimostra che il periodo di un pendolo semplice, come quello nella foto sopra, è:

$T=2\pi \sqrt{\cfrac{L}{g}}$

Nota bene: il periodo di oscillazione di un pendolo semplice dipende solo dalla sua lunghezza e dall'accelerazione di gravità.