Distanza di un punto da una retta

Distanza punto-retta mediante formula

La distanza di un punto $P(x_0;y_0)$ da una retta di equazione $ax+by+c=0$ è data dalla formula $d=\dfrac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Esempio

La distanza tra la retta $3x+y-4=0$ e il punto $A(3;1)$ è

$d=\dfrac{\vert 3\cdot3+1\cdot1-4\vert}{\sqrt{3^2+1^2}}=\dfrac{\vert 6\vert}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$ .

Distanza punto-retta costruendo un triangolo

Dati un punto $P$ e una retta $r$ , si riesce a calcolare la loro distanza utilizzando il teorema di Pitagora, senza far riferimento alla formula sopra.

PROCEDIMENTO

1.	Traccia delle parallele agli assi, passanti per il punto $P$ , fino ad incrociare $r$ , e traccia una retta perpendicolare a $r$ e passante per $P$ .
2.	Nomina i punti di intersezione tra parallele e retta con $A$ e $B$ , e il punto d'intersezione tra le rette perpendicolari con la lettera $H$ .
3.	Si vede graficamente che i punti $A$ e $B$ hanno la stessa ordinata o ascissa di $P$ . Invece, si trovano l'ascissa e l'ordinata mancante sostituendo i rispettivi valori noti all'equazione della retta.
4.	Calcola le distanze tra i vertici del triangolo $APB$ con altezza $PH$ .
5.	L'altezza di un triangolo è data dal prodotto tra le misure dei cateti diviso l'ipotenusa: $\overline{PH}=\dfrac{\overline{PA}\cdot \overline{PB}}{\overline{AB}}$

Esempio

Calcolare la distanza tra un punto $P(4;2)$ e la retta $y=x+1$ .

3.a	Il punto $A$ avrà ordinata pari a $2$ e l'ascissa si ottiene sostituendo tale valore all'equazione della retta, cioè $2=x+1$ . Concludo che $A(1;2)$ .
3.b	Il punto $B$ avrà ascissa pari a $4$ e l'ordinata si ottiene sostituendo tale valore all'equazione della retta, cioè $y=4+1$ . Concludo che $B(4;5)$ .
4.	$\overline{AP}=\sqrt{(1-4)^2+(2-2)^2}=\sqrt{9+0}=3$ $\overline{BP}=\sqrt{(4-4)^2+(5-2)^2}=\sqrt{0+9}=3$ $\overline{AB}=\sqrt{(4-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$
5.	$\overline{PH}=\dfrac{3\cdot 3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Matematica; Il piano Cartesiano; 2a superiore; Distanza di un punto da una retta