Le rette parallele e perpendicolari

Le rette perpendicolari

Definizioni

Due rette incidenti sono perpendicolari se la loro intersezione forma quattro angoli retti. Due rette incidenti non perpendicolari si dicono oblique.

Si chiama piede della perpendicolare il punto in cui una perpendicolare interseca una retta data.

Si dice proiezione ortogonale di un punto su una retta il piede della perpendicolare alla retta passante per il punto.

La proiezione ortogonale di un segmento su una retta è il segmento appartenente alla retta che ha come estremi la proiezione ortogonale degli estremi del segmento di partenza.

La distanza di un punto da una retta è la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto e la proiezione ortogonale del punto sulla retta.

L'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio.

Teorema della retta perpendicolare

Data una retta e un punto esterno ad essa è unica la retta passante per quel punto e perpendicolare alla prima retta.

Teorema

Il segmento perpendicolare tra un punto e una retta è più breve tra di tutti i segmenti obliqui condotti dallo stesso punto alla stessa retta.

Rette tagliate da una trasversale

Due rette tagliate da una terza retta detta trasversale forma otto angoli. Quattro di questi, compresi nella regione di piano tra le due rette, sono detti interni, gli altri quattro sono detti esterni. Si utilizzano varie diciture per indicare le diverse coppie di angoli.

Coniugati interni	angoli interni che sono da parti opposte della trasversale
Coniugati esterni	angoli esterni che sono da parti opposte della trasversale
Alterni interni	angoli interni che sono dalla stessa parte della trasversale
Alterni esterni	angoli esterni che sono dalla stessa parte della trasversale
Corrispondenti	angoli che hanno una posizione analoga rispetto alle rette che li formano

Le rette parallele

Definizione

Due rette sono parallele se coincidono o se non hanno punti in comune.

Teorema delle rette parallele

Se due rette, tagliate da una trasversale , formano una coppia di angoli:

alterni, interni o esterni, congruenti;
corrispondenti congruenti;
coniugati supplementari;

allora sono parallele.

Corollario

Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele.

Quinto postulato di Euclide

Data una retta e un punto esterno ad essa, la retta parallela alla prima e passante per il punto è unica.

Inverso del teorema delle rette parallele

Due rette parallele tagliate da qualsiasi trasversale formano una coppia di angoli:

alterni, interni o esterni, congruenti;
corrispondenti congruenti;
coniugati supplementari.

1° corollario	Date due rette parallele, una retta perpendicolare ad una delle due è perpendicolare anche all'altra.
2° corollario	Due rette rispettivamente parallele a due rette incidenti tra loro sono anch'esse incidenti.
3° corollario	Date due rette parallele, se una terza ne interseca una allora intersecherà anche l'altra.

Proprietà del parallelismo

Proprietà riflessiva	$a \parallel a$
Proprietà simmetrica	$Se\ a \parallel b\ allora\ b \parallel a$
Proprietà transitiva	$Se\ a \parallel b \ e \ b \parallel c \ allora \ a \parallel c$

Proprietà di angoli con lati paralleli

Due angoli con entrambi i lati paralleli e concordi o paralleli e discordi sono congruenti.

Due angoli con entrambi i lati paralleli, ma due lati concordi e due lati discordi sono supplementari.