Definizioni ed enti geometrici

La geometria è la materia che studia le relazioni tra enti geometrici.

Gli enti geometrici sono oggetti ideali con cui si possono rappresentare gli elementi della realtà.

Essi sono descritti da definizioni. Una definizione associa ad un ente geometrico un nome e ne elenca le proprietà.

Nota bene: per poter dare una definizione corretta è necessario conoscere i termini relativi all'oggetto che si sta descrivendo, che dovranno essere a loro volta definiti.

Enti primitivi

Gli enti primitivi sono tre particolari enti geometrici che non vengono definiti, poiché altrimenti andrebbero definiti anche i termini di tali definizioni; sono, quindi, accettati come noti e sono: il punto, la retta e il piano.

Punto

Il punto ideale è un ente che non ha dimensione. I punti si indicano solitamente con la lettera maiuscola ( $A,B,C,...$ ).

Retta

La retta ideale è un ente con una sola dimensione, non ha nessuno spessore ed è illimitata e infinita. Le rette si indicano solitamente con le lettere minuscole ( $a,b,c,...$ ).

Piano

Il piano ideale è un ente di due dimensioni, è illimitato e si estende in tutte le direzioni. I piani si indicano solitamente con le lettere minuscole dell'alfabeto greco ( $\alpha,\beta,\gamma,...$ ).

Figure geometriche

Le figure geometriche sono insiemi di punti dello spazio, che, invece, rappresenta la totalità dei punti.

Postulati

Un postulato è una proprietà non dedotta logicamente, ma assunta come vera. I postulati sono per la geometria quello che gli enti primitivi sono per le figure geometriche.

Teoremi

I teoremi sono enunciati la cui veridicità può essere dimostrata attraverso una sequenza di deduzioni logiche che, a partire da postulati o altri teoremi detti ipotesi conducono alla tesi. Tale procedimento è detto dimostrazione.

Ipotesi	affermazioni considerate vere universalmente o ai fini della dimostrazione
Tesi	affermazione a cui si giunge dopo una dimostrazione, spesso coincide con l'affermazione da dimostrare

Esempio

Si legga il seguente enunciato:

"Se due triangoli hanno due lati e un angolo tra loro compreso congruente, allora sono congruenti".

"Se" implica l'ipotesi: due triangoli hanno due lati e un angolo tra loro compreso congruente.

"Allora" implica la tesi: sono congruenti.

Corollario e reciproco

Un teorema che è la conseguenza immediata di un altro si chiama corollario.

Se in un teorema vengono scambiate l'ipotesi e la tesi , quest'ultimo prende il nome di teorema inverso o reciproco.

Postulati di appartenenza

Un punto appartiene a una retta significa dire che il punto sta, giace, è parte di quella retta. Allo stesso modo per un piano, un punto che appartiene a un piano giace su di esso.

1.	A una retta appartengono almeno due punti distinti e a un piano appartengono almeno tre punti distinti non allineati.
2.	Due punti distinti $A$ e $B$ appartengono ad una e una sola retta .
3.	Tre punti distinti e non allineati appartengono a uno e uno solo piano.
4.	Considerata una retta su un piano c'è per definizione almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.
5.	Se una retta passa per due punti appartenenti a un piano allora appartiene al piano anche la retta.

Nota bene: l'espressione "una e una sola" esprime sia il concetto di esistenza col termine una e sia l concetto di unicità con i termini una sola.

Postulati di ordine

1.	Se $A$ e $B$ sono due punti distinti di una retta, o $A$ precede $B$ , $B$ precede $A$ .
2.	Se $P$ precede $O$ e $O$ precede $Q$ , allora $P$ precede anche $Q$ .
3.	Preso un punto $O$ su una retta ci sarà almeno un punto che precede $O$ e uno che segue $O$ .
4.	Presi due punti $P$ e $Q$ su una retta, con $P$ che precede $Q$ , ci sarà almeno un punto $O$ della retta che seguirà $P$ e precederà $Q$ .

Nota bene: per il primo postulato non ci sono punti di una retta che non possono essere confrontati, il secondo postulato è considerato come una relazione di ordine totale, il terzo postulato dimostra che in una retta non ci sono nè un primo e nè un ultimo punto, il quarto afferma che una retta è un insieme denso e quindi fra due punti esisterà sempre un altro punto.