Equazioni goniometriche

Definizione

Un'equazione è detta goniometrica se l'incognita compare in almeno una funzione goniometrica.

Esempio

$\sin{x}=3$ e $\sin{x}+\cos{x}-1=0$ sono equazioni goniometriche.

Equazioni goniometriche elementari

Equazioni del tipo $\sin{x}=a \quad \quad a \in \R$

Per risolvere questo tipo di equazioni, bisogna distinguere tra due casi:

$a<-1 \space \vee \space a > 1$	L'equazione non ha soluzioni, in quanto il seno di un qualsiasi angolo può assumere solo valori compresi tra $-1$ e $1$
$-1 \leq a \leq 1$	Le soluzioni dell'equazione sono $x = \alpha + 2k\pi \space \vee \space x = \pi - \alpha + 2k\pi$ , con $k \in \Z$ e $\alpha$ un angolo tale che $\sin{\alpha}=a$ . Questo è dovuto sia alla periodicità del seno, di periodo $2\pi$ , sia al fatto che $\sin{x}=\sin{(\pi-x)}$ .

Equazioni del tipo $\cos{x}=b \quad \quad b \in \R$

Per risolvere questo tipo di equazioni bisogna distinguere fra due casi:

$b<-1 \space \vee \space b>1$	L'equazione non ha soluzioni, in quanto il coseno di un qualsiasi angolo può assumere solo valori compresi tra $-1$ e $1$
$-1 \leq b \leq 1$	Le soluzioni dell'equazione sono $x = \beta + 2k\pi \space \vee \space x = -\beta+2k\pi$ , con $k \in \Z$ e $\beta$ un angolo tale che $\cos{\beta}=b$ . Questo è dovuto sia alla periodicità del coseno, sia al fatto che $\cos{x}=\cos{(-x)}$

Equazioni del tipo $\tan{x}=c \quad \quad c \in \R$

Visto che il codominio della tangente è tutto $\R$ , allora le equazioni di questo tipo ammettono sempre soluzione.

Le soluzioni dell'equazione sono date da $x = \gamma + k\pi$ , con $k \in \Z$ e $\gamma$ un angolo tale che $\tan{\gamma}=c$ .

Questo è dovuto al fatto che la tangente è una funzione periodica di periodo $\pi$ .

Equazioni lineari in seno e coseno

Definizione

Un equazione è detta lineare in seno e coseno se è della forma $a\sin{x}+b\cos{x}+c=0$ , con $a,b,c \in \R$ .

Per risolvere equazioni di questo tipo bisogna distinguere tra due casi:

Equazioni con $c=0$

L'equazione diventa del tipo $a\sin{x}+b\cos{x}=0$

Le soluzioni dell'equazione si ottengono risolvendo l'equazione elementare

$\tan{x} = -\dfrac{b}{a}.$

Di conseguenza, bisogna imporre $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ , con $k \in \Z$ .

DimostraziONe

1.	Dividendo entrambi i membri dell'equazione per $\cos{x}$ si ottiene: $a\tan{x}+b=0$
2.	Riordinando l'equazione si ottiene: $\tan{x}=-\dfrac{b}{a}$

Equazioni con $c \neq 0$

Per risolvere un'equazione lineare generica esistono due possibili metodi: il metodo grafico e quello dell'angolo aggiunto.

Metodo grafico

Con il metodo grafico, le soluzioni dell'equazione lineare si ottengono risolvendo il seguente sistema:

$\begin{cases}\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \\a\sin{x} + b\cos{x}+c=0\end{cases}$

Il sistema si risolve sostituendo: $X = \cos{x} \quad Y=\sin{x}$ .

Si ottiene quindi:

$\begin{cases}X^2+Y^2=1\\aX+bY+c=0\end{cases}$

Graficamente ciò corrisponde all'intersezione tra una generica retta (in forma esplicita) e la circonferenza goniometrica.

Una volta trovati i valori di $X$ e $Y$ , per ottenere le soluzioni si risostituiscono le funzioni trigonometriche al loro posto.

Metodo dell'angolo aggiunto

Il metodo nell'angolo aggiunto consiste nel riscrivere $a\sin{x}+b\cos{x}+c=0$ nella forma $r\sin{(x+\alpha)}+c=0$ , le cui soluzioni si ottengono risolvendo la seguente equazione goniometrica elementare:

$\sin{x}=-\dfrac{c}{r}$

Per ricondurre l'equazione lineare a questa forma, bisogna porre $r=\sqrt{a^2+b^2}$ e $\alpha$ un angolo tale che $\tan{\alpha}=-\dfrac{b}{a}$ .

Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

Definizione

Un'equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno è un'equazione della forma $a\sin^2{x}+b\sin{x}\cos{x}+c\cos^2{x}=0$ .

Per risolvere un'equazione di questo tipo bisogna distinguere tra due casi:

Equazioni con $a = 0 \space \vee \space c= 0$

Con $a = 0$ l'equazione diventa $b\sin{x}\cos{x}+c\cos^2{x}=0$ .

Con $c = 0$ l'equazione diventa $a\sin^2{x}+b\sin{x}\cos{x}=0$

Per risolvere l'equazione nel primo caso bisogna raccogliere $\cos{x}$ , nel secondo $\sin{x}$ . Così facendo si ottengono rispettivamente:

$\cos{x}(b\sin{x}-c\cos{x})=0$

$\sin{x}(a\sin{x}+b\cos{x})=0$

In entrambi i casi l'equazione è risolvibile con la legge dell'annullamento del prodotto.

Equazioni con $a \ne 0 \space \land \space c \ne 0$

Un'equazione della forma $a\sin^2{x}+b\sin{x}\cos{x}+c\cos^2{x}=0$ si può risolvere dividendo entrambi i membri per $\cos^2{x}$ , ponendo $x\neq k\pi$ , con $k\in\Z$ .

Facendo così si ottiene un'equazione della forma $a\tan^2{x}+b\tan{x}+c=0$ .

L'equazione si può ricondurre a un'equazione di secondo grado con la sostituzione $t = \tan{x}$ , per essere poi ulteriormente ricondotta a un'equazione goniometrica elementare della forma $\tan{x}=t$ .

Equazioni riconducibili a omogenee di secondo grado

Un'equazione del tipo $a\sin^2{x}+b\sin{x}\cos{x}+c\cos^2{x}+d=0$ può essere ricondotta a un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno nel seguente modo:

$a\sin^2{x}+b\sin{x}\cos{x}+c\cos^2{x}+d(\sin^2{x}+\cos^2{x})=0$

Così facendo infatti la costante scompare per via della prima relazione fondamentale e sono quindi presenti solo termini di secondo grado.