Calcolo dei volumi

Solidi di rotazione

Immagina che il grafico di una funzione sul piano cartesiano sia un filo che fai ruotare intorno all'asse delle ascisse. In questo modo ottieni un solido di rotazione. Più precisamente, immagina di avere il grafico di una funzione

$f: [a;b] \rightarrow \R$ non negativa e continua. Se fai ruotare di $360 ^{\circ}$ intorno all'asse delle ascisse la figura compresa fra le due rette verticali $x=a, x=b$ , la curva della funzione e l'asse delle $x$ ottieni un solido di rotazione.

Il suo volume, in formule: $V= \pi \cdot \int_a^b [f(x)]^2 \ dx$ .

Matematica; Integrali; 5a superiore; Calcolo dei volumi

Esempio

Sia $y=\sqrt{x^2-4x}, [4;8]$ .

Calcola il volume del solido che si ottiene dalla rotazione completa dell'area racchiusa fra l'asse delle ascisse e il grafico della funzione nell'intervallo dato.

$V= \pi \cdot \int_4^8 [\sqrt{x^2-4x}]^2 \ dx = \pi \cdot \int_4^8 (x^2-4x) \ dx = \pi \cdot \left[ \dfrac{x^3}{3} - 2x^2\right]_4^8= \dfrac{160}{3}\pi$

Solidi di rotazione con due funzioni

Nel caso in cui ad essere ruotata intorno all'asse delle ascisse è la figura compresa fra il grafico di due funzioni, la formula per il volume diventa:

$V=\pi \cdot \int_a^b |f(x)^2 - g(x)^2|$

Caso generale

Considera un solido qualsiasi. Se è data la funzione $A(x)$ che esprime l'area di una sezione del solido al variare della $x$ e $x$ è racchiusa in un intervallo $[a;b]$ ,

allora il suo volume è: $V= \int_a^b A(x) \ dx$ .

Esempio

Considera la figura compresa fra l'asse delle ascisse e $y=2\sqrt{x}$ nell'intervallo $[1;4]$ . Calcola il volume di un solido che ha come base questa figura e come sezioni verticali dei quadrati.

$Area = (2 \sqrt x )^2 = 4x\\ V= \int_1^4 4x \ dx = [2x^2]_1^4= 30$

Solidi di rotazione intorno all'asse y

Immagina ora di far ruotare intorno all'asse delle ordinate la figura compresa fra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione continua e non negativa in un intervallo. Allora per calcolare il volume di questo solido di rotazione:

$V= 2 \pi \cdot \int_a^b x \cdot f(x) \ dx$ .