Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

Funzioni crescenti e decrescenti

Sia $f(x)$ continua in $[a;b]$ .

La funzione è crescente nell'intervallo se $\forall x_1,x_2 \in [a;b], x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$ .

La funzione è decrescente nell'intervallo se $\forall x_1,x_2 \in [a;b], x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)$ .

Nota bene: una funzione è crescente in un intervallo se, scelto un punto all'interno dell'intervallo, il valore corrispondente della funzione in quel punto è minore o uguale a tutti i valori a destra e maggiore o uguale a tutti i valori della funzione a sinistra del punto nell'intervallo.

Esempio

Matematica; Studio di funzione; 5a superiore; Funzioni crescenti, decrescenti e derivate

Considera la funzione dell'immagine.

Nell'intervallo $[-3;-2]$ la funzione è crescente,

poiché ogni valore che la funzione assume a destra

di $-3$ è maggiore del valore che lo precede.

Nell'intervallo $[-2;0,5]$ la funzione è decrescente,

mentre nell'intervallo $[0,5;2]$ torna a essere crescente.

Intervallo di Monotonia

Una funzione si dice monotona in un intervallo $I$ se, all'interno di $I$ , la funzione è sempre decrescente o crescente.

Esempio

La funzione $y=x$ è una retta sempre crescente in tutto il suo dominio. Si dice quindi che la funzione è monotona crescente in $\R$ .

Teorema

Sia $f(x)$ continua in $[a;b]$ e derivabile in $(a;b)$ . Allora:

$f'(x)\ge0 \ \ \forall x \in (a;b)$ se e solo se $f(x)$ è crescente in $[a;b]$ ;
$f'(x)\le 0 \ \ \forall x \in (a;b)$ se e solo se $f(x)$ è decrescente in $[a;b]$ .

Nota bene: il segno della derivata nell'intervallo dice se la funzione cresce o decresce in quell'intervallo. Se è positivo la funzione sarà crescente, decrescente se negativo.

Esempio

Una prima applicazione utile del teorema è che data una funzione per conoscere i suoi intervalli di crescenza e decrescenza ti basta studiare il segno della derivata.

Sia $f(x)= \ln(x^2+5x+6), f'(x)= \dfrac{2x+5}{x^2+5x+6}$ , con dominio $Dom_f: (-\infty;-3) \cup (-2;+\infty)$ .

Studiando il segno della derivata e intersecandolo con il dominio si ottiene che la derivata è negativa per $(-\infty;-3)$ , quindi in quello stesso intervallo la funzione è decrescente, mentre in $(-2;+\infty)$ la derivata ha segno positivo e quindi la funzione è crescente.