Disequazioni logaritmiche

Definizione

Si ha una disequazione logaritmica quando c'è l'incognita $x$ nell'argomento di un logaritmo. Ci sono vari metodi per risolverle, qui ne vediamo tre piuttosto frequenti negli esercizi.

Ricorda:

$\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$
$\log_ab - \log_a c= \log_a \left( \dfrac{b}{c}\right)$
$\log_a b^n= n \log_ab$
$\log_ab= \dfrac{\log_c b}{\log_ca}$
Condizioni di esistenza: l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero.

Disequazioni logaritmiche elementari

Questo rappresenta il caso base, a cui si riconducono altri metodi per risolvere le disequazioni logaritmiche.

procedimento

1.	La disequazione si può ridurre a un logaritmo a destra del simbolo della disequazione e un logaritmo a sinistra. I due logaritmi devono avere la stessa base
2.	Per i logaritmi che contengono l'incognita nell'argomento bisogna calcolare le condizioni di esistenza: l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero
3.	Se la base dei due logaritmi della disequazione è maggiore di uno, allora si cancellano i logaritmi e si risolve la disequazione sui due argomenti
4.	Se la base dei due logaritmi della disequazione è un numero compreso fra zero e uno, allora si cancellano i logaritmi, si inverte il segno della disequazione e si risolve la disequazione sui due argomenti
5.	Le soluzioni ottenute vanno intersecate con le condizioni di esistenza

Esempio

$\log_2 (2x-3) < 4 \ \ \ \ \ \log_2(2x-3) < \log_2 2^4 \\CE: 2x-3>0 \ \ \ x>\dfrac{3}{2} \\2x-3<16 \ \ \ \ \ \ x< \dfrac{19}{2} \\\begin{cases} x<\dfrac{19}{2} \\ x>\dfrac{3}{2}\end{cases} \ \ \ \Rightarrow \dfrac{3}{2} < x < \dfrac{19}{2}$

Disequazioni logaritmiche fratte o con il prodotto

Quando una disequazione logaritmica è fratta o si può trasformare in un prodotto si può applicare questo procedimento.

procedimento

1.	Portare tutto a sinistra del simbolo della disequazione e lasciare lo zero a destra. Dove possibile raccogliere i fattori in comune
2.	Studiare separatamente ogni fattore, denominatore, numeratore maggiore di zero
3.	Porre le condizioni di esistenza per gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita. Se presente, porre la condizione di esistenza per il denominatore
4.	Disegnare lo schema dei segni
5.	Prendere il segno indicato dalla disequazione. Metterlo a intersezione con le condizioni di esistenza

Esempio

$\dfrac{\ln x + 1}{\ln(2x-1)}>0\\Numeratore: \ln x +1 >0, \ln x >-1, \ln x > \ln e^{-1}, x>e^{-1}\\Denominatore: \ln(2x-1) >0, \ln(2x-1)>\ln e^0, 2x-1>1, 2x>2, x>1\\CE: \begin{cases} x>0 \\ 2x-1>0\end{cases} \Rightarrow x>\dfrac{1}{2}$

Disegnando lo schema dei segni e intersecandolo con le condizioni di esistenza si ottiene che la soluzione è $x > 1$ .

Metodo di sostituzione

Di solito questo metodo è utile quando ad esempio c'è un logaritmo elevato al quadrato o al cubo o a potenze maggiori.

procedimento

1.	Risolvere la disequazione in modo che ogni logaritmo abbia la stessa base e lo stesso argomento, ma i logaritmi hanno potenze diverse
2.	Introdurre la variabile $t$ e porla uguale al logaritmo con la stessa base e lo stesso argomento di quelli della disequazione. Sostituire
3.	Risolvere la disequazione algebrica con i metodi dell'algebra
4.	Per ogni risultato trovato per $t$ , calcolarlo con la funzione con cui si era applicata la sostituzione
5.	Calcolare le condizioni di esistenza
6.	Intersecare le soluzioni con le condizioni di esistenza

Esempio

$\log^2x -7\log x +12 <0\\t=\log x \Rightarrow t^2-7t+12<0 \\3<t<4\\CE: x>0\\3<\log x < 4, \log 10^3 < \log x <\log 10^4, 10^3 < x < 10^4$