Disequazioni fratte

Definizione

Una disequazione si dice fratta quando ha almeno un termine con l'incognita a denominatore.

In formule: $\dfrac{N(x)}{D(x)}>b$ , dove $N(x)$ è il polinomio a numeratore, mentre $D(x)$ è il polinomio a denominatore e $b$ è il termine noto.

Esempio

$\dfrac{2}{x+3}>5$

Disequazioni numeriche fratte

Sono disequazioni dove l'unica parte letterale presente è rappresentata dall'incognita, presente a denominatore.

In forma normale: $\dfrac{N(x)}{D(x)} \lesseqgtr 0$

procedimento

1.	Riduco la disequazione nella forma normale $\dfrac{N(x)}{D(x)}>0$
2.	Studio separatamente il segno del numeratore
3.	Studio separatamente il segno del denominatore
4.	Costruisco la tabella con i valori orientati, trovati in precedenza, scrivendo un $+$ negli intervalli in cui rispettivamente numeratore e denominatore assumono valori positivi, un $-$ in caso contrario
5.	Moltiplico i segni nella colonna di uno stesso intervallo e scrivo il segno risultante

Nota bene: confronto sempre i risultati ottenuti con le Condizioni di Esistenza, in modo da controllare che siano accettabili.

Ricorda: non è possibile eliminare il denominatore come nelle disequazioni intere, in quanto, nelle disequazioni fratte, essendoci l'incognita, influenza il segno complessivo.

Esempio

$\dfrac{4-x}{x+3}>2$

1.	* $\dfrac{-3x-2}{x+3}>0$ *
2.	* $\dfrac{-3x-2}{x+3}>0$ *
3.	* $-3x-2>0$ $\longrightarrow$ $x<-\dfrac{2}{3}$ *
4.	* $x+3>0 \ \longrightarrow \ x>-3$ *
5.
6.	$S=\left\{x\in\R\|-3<x<-\dfrac{2}{3}\right\}$

Disequazioni letterali fratte

Sono disequazioni dove, oltre all'incognita, è presente un altro termine letterale che prende il nome di parametro.

In formule: $\dfrac{P(x)}{Z(x)}>c$ , dove $P(x)$ è il numeratore della frazione, $Z(x)$ è il denominatore della frazione, $c$ il termine noto. Ognuno di questi può contenere il parametro.

Il procedimento risolutivo ripercorre quello delle disequazioni numeriche fratte, con la differenza della discussione del parametro.

procedimento

1.	Riconduco la disequazione alla forma $\dfrac{P(x)}{Z(x)}>0$
2.	Studio il segno del numeratore; se lo contiene, in base al segno del parametro $a$ distinguo tre casi: se $a>0$ se $a=0$ se $a<0$
3.	Studio il segno del denominatore; se lo contiene, distinguo i tre casi in base al segno del parametro $a$
4.	Proseguo con la costruzione di tre tabelle, ognuna per ogni diverso caso della discussione del parametro $a$
5.	Individuo gli intervalli di soluzione

Esempio

$\dfrac{2ax+4}{x+5}>3$

$\dfrac{2ax+4}{x+5}-3>0$

$\dfrac{2ax+4-3x-15}{x+5}>0$

$\dfrac{2ax-3x-11}{x+5}>0$

1.	$\dfrac{2ax-3x-11}{x+5}>0$
2.	* $x(2a-3)-11>0\to x(2a-3)>11$ :* se $2a-3>0\to a>\dfrac{3}{2}$ allora $P(x)>0$ per $x>\dfrac{11}{2a-3}$ se $2a-3=0\to a=\dfrac{3}{2}$ allora $P(x)>0$ è impossibile $0>11$ se $2a-3<0\to a<\dfrac{3}{2}$ allora $P(x)>0$ per $x<\dfrac{11}{2a-3}$
3.	* $x+5>0\to x>-5$ *
4.	Per $a>\dfrac{3}{2}\ \land x>-5$ Per $a<\dfrac{3}{2} \ \land x>-5$ Qui bisogna distinguere due casi, perché non sappiamo quanto vale $\dfrac{11}{2a-3}$ e quindi se sta a destra o a sinistra di $-5$ . Risolvendo $\dfrac{11}{2a-3} > -5$ troviamo i due casi. Per $x > - 5 \ \ \land a < \dfrac{2}{5}$ Per $x>-5 \ \ \ \land \dfrac{2}{5} < a < \dfrac{3}{2}$
5.	A seconda del valore del parametro $a$ ottengo intervalli di soluzioni diversi