MCD e mcm tra polinomi

MCD

Si dice Massimo Comune Divisore (MCD) tra più polinomi, il polinomio di grado più alto divisore di tutti i polinomi considerati.

Esempio

Il MCD tra $(a+2)(a^3+2b^2)$  e $(x^3y+y)(a+2)$ è $(a+2)$ in quanto è il divisore comune di massimo grado.

Calcolo MCD

Per trovare il massimo comune divisore tra polinomi è sufficiente moltiplicare tra loro i fattori irriducibili comuni, presi una volta soltanto con l'esponente più basso con il quale compaiono.

Esempio

Calcolo MCD $(3x^3+6x^2+3x,\ 9x^2+27xy^2,\ 6abx+12x^2y)$ .

Riscrivo il primo polinomio raccogliendo a fattor comune	$3x(x^2+2x+1)$
Riscrivo il secondo polinomio raccogliendo a fattor comune	$9x(x+3y^2)$
Riscrivo il terzo polinomio raccogliendo a fattor comune	$6x(ab+2xy)$
Determino il termine irriducibile comune ai tre polinomi	$3x$

Concludo che il massimo comune divisore tra i tre polinomi è $3x$ .

mcm

Si dice minimo comune multiplo (mcm) tra più polinomi, il polinomio di grado più piccolo che risulta multiplo di tutti i polinomi considerati.

Esempio

Il mcm tra $(a+2)(a^2+2b^2)^2$ e $(x+y)^2$ è $(a+2)(a^2+2b^2)^2(x+y)^2$ .

Calcolo mcm

Per trovare mcm è sufficiente moltiplicare tra loro i fattori irriducibili comuni e non, presi soltanto una volta con il loro maggiore esponente.

Esempio

Calcolo mcm $(3x^3+6x^2+3x,\ 9x^2+27xy^2,\ 6abx+12x^2y)$ .

Riscrivo il primo polinomio raccogliendo a fattor comune	$3x(x^2+2x+1)$
Riscrivo il secondo polinomio raccogliendo a fattor comune	$9x(x+3y^2)$
Riscrivo il terzo polinomio raccogliendo a fattor comune	$6x(ab+2xy)$
Moltiplico tutti i fattori, elevati al loro esponente più alto	$9x(x^2+2x+1)(x+3y^2)(ab+2xy)$