Le frazioni e le proporzioni

Definizione

Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti: quattro numeri formano una proporzione se il rapporto tra il primo e il secondo è uguale al rapporto tra il terzo e il quarto:

$a:b=c:d$

$a$ e $c$ sono antecedenti;
$b$ e $d$ sono conseguenti;
$a$ e $d$ sono estremi;
$b$ e $c$ sono medi.

In particolare, una proporzione è continua se i medi sono tra loro uguali e, quindi, è nella forma $a:b=b:c$ .

Proprietà delle proporzioni

Proprietà fondamentale

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

se $a:b=c:d$ allora $a\cdot d=b\cdot c$ .

Esempio

Se $15:5=9:3$ allora $15\cdot 3 = 5\cdot 9$ .

Proprietà dell'invertire

Scambiando ciascun antecedente con il rispettivo conseguente si ottiene una nuova proporzione:

se $a:b=c:d$ allora $b:a=d:c$ .

Esempio

Se $15:5=9:3$ allora $5:15=3:9$ .

Proprietà del permutare

Scambiando tra loro i due medi o i due estremi o entrambi si ottiene una nuova proporzione.

Se $a:b=c:d$ allora:

$a:c=b:d$ scambiando i medi;
$d:b=c:a$ scambiando gli estremi;
$d:c=b:a$ scambiando medi ed estremi.

Esempio

Se $15:5=9:3$ allora:

$15:9=5:3$ scambiando i medi;
$3:5=9:15$ scambiando gli estremi;
$3:9=5:15$ scambiando entrambi.

Proprietà del comporre

La somma tra primo e secondo termine sta al primo come la somma tra terzo e quarto termine sta al terzo, e la somma tra primo e secondo termine sta al secondo come la somma tra terzo e quarto termine sta al quarto.

Se $a:b=c:d$ allora:

$(a+b):a=(c+d):c$
$(a+b):b=(c+d):d$

Esempio

Se $15:5=9:3$ allora:

$20:15=12:9$ nel primo caso;
$20:5=12:3$ nel secondo caso.

Proprietà dello scomporre

Se il primo termine è maggiore del secondo, e di conseguenza il terzo maggiore del quarto, allora la differenza tra il primo e il secondo sta al primo come la differenza tra il terzo e il quarto sta al terzo, e la differenza tra primo e secondo sta al secondo come la differenza tra terzo e quarto sta al quarto.

La stessa cosa vale, coi termini delle differenze invertiti, se il secondo è maggiore del primo, e di conseguenza il quarto maggiore del terzo.

Se $a:b=c:d$ (con $a>b$ ) allora:

$(a-b):a=(c-d):c$
$(a-b):b=(c-d):d$

Esempio

Se $15:5=9:3$ allora:

$10:15=6:9$ nel primo caso;
$10:5=6:3$ nel secondo caso.

Calcolare il termine incognito in una proporzione

Una proporzione al suo interno può contenere una incognita in una o due posizioni.

Calcolo di un estremo incognito

Se l'incognita si trova in uno dei due estremi, questa è uguale al prodotto dei medi diviso per l'estremo noto.

Esempio

Se $x:5=9:3$ allora $x=\dfrac{5\cdot 9}{3}=15$ .

Calcolo di un medio incognito

Se l'incognita si trova in uno dei due medi, questa è uguale al prodotto degli estremi diviso per il medio noto.

Esempio

Se $15:x=9:3$ allora $x=\dfrac{15\cdot 3}{9}=5$ .

Calcolo dei medi in una proporzione continua

Se l'incognita si trova in entrambi i medi, il suo valore è uguale alla radice quadrata del prodotto degli estremi.

Esempio

Se $27:x=x:3$ allora per la proprietà fondamentale $x\cdot x=27\cdot 3=81$ , quindi $x=\sqrt{81}=9$ .