Definizione

Le potenze con esponente intero negativo sono potenze del tipo $a^{-b}$ con $a$ numero reale e $-b$ numero intero negativo. Queste possono essere riscritte come potenze con esponente positivo sostituendo la base con il suo reciproco ed eliminando il segno negativo dall'esponente.

In formule: $a^{-b}=\left( \dfrac{1}{a}\right)^b$

Nota bene: la definizione di potenza con esponente negativo può essere applicata indifferentemente ai numeri naturali, interi e razionali.

Esempi

$3^{-2}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}$

$(-5)^{-2}=\left(\dfrac{1}{-5}\right)^2=\dfrac{1}{25}$

$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}=\dfrac{25}{4}$

Proprietà delle potenze con esponente intero negativo

Le potenze con esponente intero negativo godono delle stesse proprietà delle potenze con esponente intero positivo.

Prodotto di potenze con la stessa base

Il prodotto di potenze che hanno la stessa base è una potenza che conserva la base dei fattori e che ha per esponente la somma degli esponenti dei fattori.

Esempio

$2^{-3}\cdot 2^{-1}=2^{-3+(-1)}=2^{-4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}$

Quoziente di potenze con la stessa base

Il quoziente di potenze che hanno la stessa base (diversa da 0) è una potenza che conserva la base e che ha per esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e quello del divisore.

Esempio

$2^{-3}: 2^{-1}=2^{-3-(-1)}=2^{-2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$

Potenza di una potenza

La potenza di una potenza è una potenza che conserva la base e che ha per esponente il prodotto degli esponenti.

Esempi

$\left(2^{-3}\right)^{-1}=2^{-3\cdot (-1)}=2^3=8$

$\left(2^{3}\right)^{-1}=2^{3\cdot (-1)}=2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Il prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che conserva l'esponente e che ha per base il prodotto tra le basi dei fattori.

Esempio

$4^{-2}\cdot 3^{-2}=(4\cdot 3)^{-2}=12^{-2}=\left(\dfrac{1}{12}\right)^2=\dfrac{1}{144}$

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Il quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che conserva l'esponente e che ha per base il quoziente tra le basi.

Esempio

$4^{-2}: 3^{-2}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}$