Multiplo

Un numero naturale $a$ si definisce multiplo di un numero naturale $b$ se esiste un numero $c$ che moltiplicato per $b$ è uguale ad $a$ , in base alla formula $a=b\cdot c$ .

Esempi

$12$ è multiplo di $4$ perché $12=4\cdot 3$ .

$15$ non è multiplo di $4$ perché non esiste un numero naturale $c$ tale che $4\cdot c=15$ .

Nota bene: per ciascun numero i multipli sono infiniti.

Divisore

Un numero naturale $b$ diverso da $0$ , si definisce divisore di un numero naturale $a$ se la divisione tra $a$ e $b$ risulta esatta, cioè se dà resto $0$ , in base alla formula $a:b=c$ .

Esempi

$7$ è divisore di $21$ perché $21:7=3$ .

$4$ non è divisore di $11$ perché $11:4=2,75$ .

Ricorda: ciascun numero è divisibile per $1$ e per se stesso.

Criteri di divisibilità

I criteri di divisibilità sono regole che permettono di capire facilmente se un numero è divisibile per un altro specifico numero senza svolgere molti calcoli.

In tabella sono riportati i criteri più utilizzati:

Numero divisibile per:	Quando	Esempio
$2$	L'ultima cifra è pari	$548964$ ( $4$ è pari)
$3$	La somma delle cifre è divisibile per $3$	$468$ ( $4+6+8=18$ )
$4$	Il numero formato dalle ultime due cifre a destra è divisibile per $4$ , oppure le cifre sono $00$	$21524$ ( $24$ è divisibile per $4$ )
$5$	L'ultima cifra è $0$ o $5$	$1245$
$9$	La somma delle cifre è divisibile per $9$	$1116$ ( $1+1+1+6=9$ )
$11$	Sommando le cifre in posto pari e quelle in posto dispari, la differenza tra il numero maggiore ottenuto e quello minore dev'essere un multiplo di $11$	$6060846$ ( $6+6+8+6=26$ e $0+0+4=4$ quindi $26-4=22=11\cdot 2$ )
$25$	Il numero formato dalle ultime due cifre a destra è divisibile per $25$ , oppure le ultime due cifre sono $00$	$1450$ ( $50$ è divisibile per $25$ )

Nota bene: per ciascun numero esiste un numero limitato di divisori, ma sicuramente sono almeno due.

Numeri primi

Si chiamano numeri primi i numeri naturali maggiori di $1$ divisibili solo per $1$ e per se stessi.

Esempi

$17$ è un numero primo perché i suoi unici divisori sono $1$ e $17$ .

$6$ non è un numero primo perché i suoi divisori sono $1,2,3$ e $6$ .

Scomposizione

Se un numero non è primo, è possibile scomporlo in fattori primi, cioè scriverlo sotto forma di prodotto tra numeri primi eventualmente elevati a potenza.

Si procede in maniera algoritmica come nell'esempio seguente.

Esempio

Bisogna scomporre in fattori primi il numero $180$ .

180\\90\\45\\15\\5\\1

2\\2\\3\\3\\5\\-

Si scrive che $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ .

M.C.D.

Il massimo comune divisore (MCD) tra due o più numeri naturali diversi da $0$ è maggiore divisore in comune. Si calcola facendo il prodotto dei fattori primi in comune, prendendone ciascuno una sola volta e con l'esponente più piccolo con cui il fattore compare nelle scomposizioni.

Esempio

Per calcolare il MCD. tra $60$ e $56$ , procedo con la scomposizione in fattori primi: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ e $56=2^3\cdot 7$ .

Osservo che $2$ è l'unico fattore primo in comune e l'esponente più piccolo con cui compare nelle scomposizioni è $2$ .

Concludo che MCD( $60,56$ ) $=2^2=4$ .

Nota bene: è sicuramente $1$ il massimo comune divisore tra due numeri primi o tra due numeri di cui uno è primo.

Algoritmo di Euclide

L'algoritmo di Euclide costituisce un metodo utile per trovare il massimo comune divisore tra due numeri interi, che si basa sui seguenti due risultati:

teorema (DIVISIBILITà DELLA DIFFERENZA)

Se due numeri naturali $a$ e $b$ , con $a>b$ , sono divisibili per uno stesso numero $c$ , allora anche $a-b$ è divisibile per $c$ .

TEOREMA (DIVISIBILITà DEL RESTO)

Se due numeri naturali $a$ e $b$ , con $a>b$ , sono divisibili per uno stesso numero $c$ , allora anche $r$ , resto della divisione $a:b$ , è divisibile per $c$ .

ALGORITMO

Dati due numeri naturali $a$ e $b$ , diversi da $0$ :

1.	Considera come $a$ il maggiore dei due numeri e $b$ come il minore
2.	Se $a=b$ allora $b$ è il M.C.D., altrimenti procedi calcolando $a-b$
3.	Considera $a-b$ come nuovo valore di $a$ , mentre $b$ resta invariato
4.	Se $a<b$ , allora scambia $a$ con $b$
5.	Ripeti tutti i punti fino ad ottenere $a-b=0$
6.	$b$ è il M.C.D. tra $a$ e $b$

Esempio

Calcola il MCD tra $63$ e $24$ .

$63-24=39$

$39-24=15$

$24-15=9$

$15-9=6$

$9-6=3$

$6-3=3$

Allora MCD( $63,24$ )= $3$ .

m.c.m.

Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri naturali diversi da $0$ è il minore multiplo in comune. Si calcola facendo il prodotto di tutti i fattori primi, in comune e non, prendendone ciascuno una sola volta con l'esponente più grande con cui compare nelle scomposizioni effettuate.

Esempio

Per calcolare il mcm. tra $60$ e $56$ , procedo con la scomposizione in fattori primi: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ e $56=2^3\cdot 7$ .

Concludo che mcm.( $60,56$ ) $=2^3\cdot3\cdot 5\cdot 7=840$ .

Relazione tra MCD e mcm

MCD e mcm sono in relazione in base alla seguente formula:

Matematica; Numeri e operazioni; 1a superiore; Multipli, divisori, MCD e mcm