Le equazioni con due incognite

Definizione

Le equazioni in cui sono presenti due incognite ammettono più soluzioni. La soluzione è unica quando il numero di incognite presenti è uguale al numero di equazioni date. Si forma così un sistema di equazioni.

Esempi

$x+y=9$ può essere risolta da tante coppie di valori, come $(2,7)$ o $(5,4)$ .

$\begin{cases}x+2y=3 \\x+y=2\end{cases}$ è un sistema di due equazioni con due incognite.

La soluzione in questo caso è $\begin{cases}x=1 \\y=1\end{cases}$ cioè la coppia $(1,1)$ .

Proprietà dei sistemi di equazioni

1.	Se si moltiplicano (o dividono) entrambe le equazioni per uno stesso numero, si ottiene un sistema di equazioni equivalente, cioè con la stessa coppia di valori
2.	Se si sommano (o sottraggono) membro a membro le equazioni del sistema si ottiene un'equazione equivalente

Nota bene: il paragone con la bilancia continua a valere! Sui piattini della bilancia ci sono due oggetti sconosciuti ora, e la parentesi graffa richiede che i pesi soddisfino contemporaneamente entrambi i casi, ovvero entrambe le equazioni.

Metodi di risoluzione

Ci sono due metodi per la risoluzione dei sistemi di equazioni a due incognite.

Metodo di sostituzione

PROCEDIMENTO

1.	Isola una delle due incognite in una equazione
2.	Sostituisci l'incognita isolata nell'altra equazione, ottenendo una equazione in una incognita
3.	Risolvi l'equazione ottenuta
4.	Sostituisci il risultato ottenuto nella prima equazione usata per isolare l'incognita, e ottieni una seconda equazione in un'incognita
5.	Risolvi la seconda equazione per calcolare anche l'altro valore richiesto

Esempio

$\begin{cases}x+2y=3 \\x+y=2\end{cases} \xrightarrow{isolo\ x} \begin{cases}x=3-2y \\x+y=2\end{cases} \xrightarrow{sostituisco\ x \ nella \ seconda} 3-2y+y=2 \to y=1$

Risolta la prima basta sostituire $y$ in una delle due equazioni del sistema ed ottenere $x$ : $x+2 \cdot 1=3 \to x=1$ .

Metodo di addizione

PROCEDIMENTO

1.	Scegli un'incognita da eliminare
2.	Moltiplica una delle due equazioni per un numero tale da avere l'incognita con coefficiente opposto nelle due equazioni del sistema
3.	Somma membro a membro le due equazioni per far scomparire l'incognita scelta
4.	Risolvi l'equazione in una incognita ottenuta
5.	Sostituisci il risultato ottenuto nella prima equazione usata per isolare l'incognita: otterrai una seconda equazione in un'incognita
6.	Risolvi la seconda equazione per calcolare anche l'altro valore richiesto

Esempio

$\begin{cases}x+2y=3 \\x+y=2\end{cases} \xrightarrow{scelgo\ x\ da \ eliminare} \begin{cases}x+2y=3 \ \\x+y=2\end{cases} \xrightarrow{ moltiplico \ per \ -1} \begin{cases}-x-2y=-3 \\x+y=2\end{cases} \xrightarrow{sommo} -x+x-2y+y=-3+2 \to -y=-1 \to y=1$

Esattamente come prima si può ricavare anche $x$ sostituendo $y$ in una delle due equazioni, ottenendo lo stesso risultato.

Nota bene: come puoi notare i due metodi danno lo stesso risultato. E' importante impararli tutti perché a volte è più immediato usare un metodo piuttosto che l'altro, ma è normale averne uno con cui ci si sente più a proprio agio.